Kezdőlap


Feladat:	683. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajmóczy Ervin , Breuer Pál , Fuggerth Endre , Herendi Ágnes , Horváthy Péter , Kecskeméty Károly , Maróti Péter , Sághy András , Spitzer József , Szörényi András
Füzet:	1967/december, 238 - 239. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/április: 683. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számításainkat olyan szabadon eső koordinátarendszerben végezzük el, amely a testek elhajításának pillanatában kezdett el esni. Ebben a koordinátarendszerben a testek $v_{0}$ sebességű egyenes vonalú egyenletes mozgást fognak végezni, tehát $t$ idő múlva az elhajítás helyétől egyformán $v_{0} t$ távolságra lesznek. A két út vízszintes vetülete $v_{0} t \cdot cos α_{1}$ , illetve $v_{0} t \cdot cos α_{2}$ . A két vetület közötti szög nyilván $φ$ (az ábrán ezeket a vetületeket lehet látni).

Tehát cosinus tétel segítségével a két test keresett távolságának vízszintes vetülete:

\begin{matrix} x = \sqrt[]{{(v_{0} t cos α_{1})}^{2} + {(v_{0} t cos α_{2})}^{2} - 2 {(v_{0} t)}^{2} cos α_{1} cos α_{2} cos φ} . \end{matrix}

A két út függőleges vetülete:

\begin{matrix} v_{0} t \cdot sin α_{1}, illetve v_{0} t \cdot sin α_{2} . \end{matrix}

A keresett távolság függőleges vetülete:

\begin{matrix} y = v_{0} t sin α_{1} - v_{0} t sin α_{2} . \end{matrix}

Pythagoras tételével megkaphatjuk a két test távolságát:

\begin{matrix} s = \sqrt[]{x^{2} + y^{2}} = v_{0} t \sqrt[]{2 (1 - sin α_{1} sin α_{2} - cos α_{1} cos α_{2} cos φ)} = \\ = 25 \sqrt[]{8 - 2 \sqrt[]{3} - \sqrt[]{6}} m\approx36,1 m. \end{matrix}

Herendi Ágnes (Bp., Toldy F. g. II. o. t.)
és Szörényi András (Pécs, Széchenyi I. g. II. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A számítás nyugvó koordinátarendszerben lényegében nem különbözik a fenti megoldástól, csak egy kicsivel hosszabb.
2. Ha a hajítás vízszintes síkról történik, akkor mind a két test két másodpercen belül talajt ér. Az elhajítás és a földreérés helye közti távolság

(v_{0}^{2} / g) sin 2 α_{1}

, illetve

(v_{0}^{2} / g) sin 2 α_{2}

. A két földreérés helyének távolsága a cosinus tétel szerint:

\begin{matrix} (v_{0}^{2} / g) \cdot \sqrt[]{sin^{2} 2 α_{1} + sin^{2} 2 α_{2} - 2 sin 2 α_{1} sin 2 α_{2} cos φ} \approx 6, 63 m. \end{matrix}

Bajmóczy Ervin (Bp., Ady E. ált. isk. 8. o. t. )

3. A megoldásból látszik, hogy a két pont távolsága független a nehézségi gyorsulás értekétől, vagyis képletünk bármely égitesten, sőt még gravitációs erőtér mentes helyen is érvényes (világűr).
Horváthy Péter (Esztergom, Dobó K. g. I. o. t.)