Kezdőlap


Feladat:	681. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bajmóczy Ervin , Bodoky Péter , Grosz Tamás , Halász Pál , Kecskeméty Károly
Füzet:	1968/január, 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Egyenletes körmozgás, Mesterséges holdak, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/március: 681. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szövegben az a hiba, hogy a kötél megfeszítésébez szükséges idő független a kötél végén levő tömegek nagyságától, ugyanis a kötél azért feszül meg, mert az alsó, kisebb sugarú pályán keringő test szögsebessége nagyobb, mint a felsőé. Ez a szögsebesség azonban csak a Föld tömegétől és a pálya sugarától függ, vagyis nem azért feszül meg a kötél, mert a gravitációs erő abszolút értékben nagyobb, hanem azért, mert a fajlagos, tömegegységre jutó gravitációs erő lesz nagyobb az alacsonyabban keringő test esetében.

\begin{matrix} R ω^{2} = f \frac{M}{R^{2}} \end{matrix}

egyenlet alapján az Agena szögsebessége:

\begin{matrix} ω_{A} = \sqrt[]{f \frac{M}{R^{3}}} . \end{matrix}

A Geminié pedig

\begin{matrix} ω_{0} = \sqrt[]{f \frac{M}{r^{3}}} = \sqrt[]{f \frac{M}{{(R - l)}^{3}}} = \sqrt[]{f \frac{M}{R^{3}}} \cdot \sqrt[]{\frac{1}{{(1 - \frac{l}{R})}^{3}}}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} ω_{0} = ω_{A} \cdot {(1 - \frac{l}{R})}^{- 3 / 2}, ahol l = R - r = 5 m . \end{matrix}

A szögsebességek különbsége:

\begin{matrix} ω_{0} - ω_{A} = ω_{A} [{(1 - \frac{l}{R})}^{- 3 / 2} - 1] . \end{matrix}

t_{0} = 0

-kor egymás felett voltak, akkor

t

idő múlva a befutott szögek különbsége (lásd az ábrát):

\begin{matrix} φ = A O G ∢ = (ω_{0} - ω_{A}) t . \end{matrix}

A O G

háromszögben

A G

oldalt cosinus‐tétellel kifejezve:

\begin{matrix} {\bar{(A G)}}^{2} = R^{2} + r^{2} - 2 r R cos [(ω_{0} - ω_{A}) t] . \end{matrix}

A kötél megfeszülésének pillanatában:

A G = 30

m.
Rendezve:

\begin{matrix} cos [(ω_{0} - ω_{A}) t] = \frac{R^{2} + r^{2} - 30^{2}}{2 r R} . \end{matrix}

Ebből

t

-t kifejezve:

\begin{matrix} t = a r o \end{matrix}

Behelyettesítés után kapjuk, hogy

t \approx 1

óra.
A számolás során problémát jelent az arc cos számolása, mert a nulla fokhoz igen közel eső szögről van szó, amelyet nem lehet táblázatból visszakeresni, viszont ilyenkor igen jól alkalmazható a

sin x \approx x

összefüggés.

Halász Pál (Szolnok, Verseghy F. g.)

Megjegyzés. A megoldók többsége elfeledkezett arról, hogy a Gemininek nemcsak a sebessége a nagyobb, hanem a befutandó kör kerülete is kisebb

10 π = 31, 4

m-rel, vagyis egy fordulat alatt (

1, 5

óra) még azonos kerületi sebesség esetén is megfeszül a 30 m-es kötél