Kezdőlap


Feladat:	680. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bor Zsolt , Szörényi András
Füzet:	1968/január, 39 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmas ütközések, Gördülés vízszintes felületen, Forgási energia, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/március: 680. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tételezzük fel, hogy az ütközés elég rövid idő alatt zajlik le. Ekkor a mozgás a következőképpen történik.

1. A két, egymással szemben guruló golyó ütközése egy pillanat alatt lezajlik, a két golyó sebességet cserél (rugalmas ütközés), de a szögsebességük változatlan marad.

2. A két golyó ,,köszörülve'' egymástól távolodik. A sebességük csökken, mivel a súrlódási erő a mozgás irányával ellentétes irányú, a szöggyorsulás pedig a szögsebességet csökkenti, majd másik irányban növeli.

3. Mikor a lecsökkent sebességre és az új szögsebességre teljesül a gördülés feltétele, a ,,köszörülés'' megszűnik és a két golyó állandó sebességgel egymástól távolodik. (Az 1. ábra közvetlenül az ütközés utáni pillanatban ábrázolja a golyókat.)

1. ábra

Vizsgáljuk az egyik golyó mozgását. ,,Köszörülés'' közben három erő hat a golyóra: a súlyerő, az asztallap nyomóereje (kompenzálják egymást) és a

μ m g

súrlódási erő.
A golyó mozgásegyenletei

(I = 2 / 5 m r^{2}

a golyó tehetetlenségi nyomatéka,

a

a súlypont gyorsulása és

β

a szöggyorsulás):

\begin{matrix} m a & = μ m g; \\ I β & = μ m g \cdot r . \end{matrix}

A golyó sebessége és szögsebessége

t

idővel az ütközés után (

ω_{0} = v_{0} / r

a kezdeti szögsebesség):

\begin{matrix} v & = v_{0} - a t = v_{0} - μ g t; \\ ω & = - ω_{0} + β t = - ω_{0} + \frac{μ m g r}{I} t . \end{matrix}

t_{1}

idő elteltével teljesül a gördülés feltétele:

\begin{matrix} v (t_{1}) = ω (t_{1}) \cdot r . \end{matrix}

Behelyettesítve:

\begin{matrix} v_{0} - μ g t_{1} = (- ω_{0} + \frac{μ m g r}{I} t_{1}) r . \end{matrix}

Innen kifejezhetjük a ,,köszörülés'' idejét

\begin{matrix} t_{1} = \frac{2 v_{0}}{μ g + \frac{μ m g r^{2}}{I}} = 8 s . \end{matrix}

Ekkor a golyó sebessége:

\begin{matrix} v_{1} = v (t_{1}) = v_{0} - μ g t_{1} = 120 cm/s . \end{matrix}

A golyó energiája az ütközés előtt, illetve az ütközés után:

\begin{matrix} E_{0} = \frac{1}{2} m v_{0}^{2} + \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{7}{10} m v_{0}^{2}, ill. E_{1} = \frac{7}{10} m v_{1}^{2} . \end{matrix}

A (súrlódási) energia veszteség:

\begin{matrix} Δ E = E_{0} - E_{1} = \frac{7}{10} m v_{0}^{2} (1 - \frac{v_{1}^{2}}{v_{0}^{2}}) = \frac{40}{49} E_{0} = 0, 45 joule . \end{matrix}

2. ábra

A 2. ábrán a

v (t)

függvényt (folytonos vonal) és az

r \cdot ω (t)

függvényt (szaggatott vonal) rajzoltuk meg.
Szörényi András (Pécs, Széchenyi I. g. II. o.t.)

II. megoldás. A mozgásegyenletek helyett az impulzus és impulzus momentum egyenleteket is fel lehet írni:

\begin{matrix} m v_{0} - μ m g t_{1} & = m v_{1}; \\ - I ω_{0} + μ m g r t_{1} & = I ω_{1} \end{matrix}

(az asztal lapja felett

r

távolságra levő pontra vonatkoztatva).
A

v_{0} = r ω_{0}

és

v_{1} = r ω_{1}

egyenleteket felhasználva megkaphatjuk

v_{1}

és

t_{1}

értékét.
Bor Zsolt (Szeged, Ságvári E. g. IV. o. t.)