Kezdőlap


Feladat:	672. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Mihály László , Szalay Sándor , Takács László
Füzet:	1967/december, 236 - 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb fénytörés, Optikai jelenségek a természetben, Fényvisszaverődés, A fény diszperziója, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 672. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsünk egy fénysugarat, mely az 1. ábrán látható útvonalon halad! A fénytörés törvénye alapján

\begin{matrix} \frac{sin α}{sin β} = n . \end{matrix}

(1)

A B C D

négyszögből

\begin{matrix} α + δ + α + 2 (180^{\circ} - 2 β) = 360^{\circ}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} δ = 4 β - 2 α . \end{matrix}

(2)

Az (1) és (2) összefüggések megadják az eltérülés

δ

szögének

α

-tól való függését.

1. ábra

A párhuzamosan beeső sugárnyaláb akkor marad a kilépés után is párhuzamos, ha az

α

-tól kicsiny

Δ α

-val eltérő beesési szög mellett az eltérülési szög változatlanul

δ

.
Mivel (2) most is érvényes

\begin{matrix} δ = 4 (β + Δ β) - 2 (α + Δ α) . \end{matrix}

(3)

(3)-ból (2)-t kivonva

\begin{matrix} 2 Δ β = Δ α . \end{matrix}

(4)

Azonban (1) szerint

\begin{matrix} sin (α + Δ α) - sin α = n [sin (β + Δ β) - sin β], \end{matrix}

mindkét oldalt szorzattá alakítva

\begin{matrix} 2 sin \frac{Δ α}{2} cos (α + \frac{Δ α}{2}) = 2 n sin \frac{Δ β}{2} cos (β + \frac{Δ β}{2}) . \end{matrix}

Felhasználjuk, hogy

Δ α

és

Δ β

olyan kicsiny mennyiségek, melyek sinusa helyett maga a szög írható.Így (4) alapján

\begin{matrix} 2 Δ β cos (α + \frac{Δ α}{2}) = n Δ β cos (β + \frac{Δ β}{2}) . \end{matrix}

Négyzetre emelve

\begin{matrix} 4 [1 - sin^{2} (α + \frac{Δ α}{2})] = n^{2} [1 - sin^{2} (β + \frac{Δ β}{2})], \end{matrix}

ahonnan (1) figyelembevételével

\begin{matrix} 4 [1 - sin^{2} (α + \frac{Δ α}{2})] = n^{2} - sin^{2} (α + \frac{Δ α}{2}), vagyis \\ sin^{2} (α + \frac{Δ α}{2}) = \frac{4 - n^{2}}{3} . \\ Mivel \frac{Δ α}{2} elhanyagolható α mellett, \\ sin α = \sqrt[]{\frac{4 - n^{2}}{3}} . \end{matrix}

A gyök alatt akkor kapunk pozitív mennyiséget, ha

n < 2

. Ellenkező esetben nem létezik olyan

α

beesési szög, mely alatt párhuzamos fénynyalábot bocsátva a vízcseppbe, az a kilépés után is párhuzamos maradna.
Behelyettesítve a numerikus értékeket, a vörös fényre

α_{v} = 58, 5^{\circ}

adódik, amelyhez

δ_{v} = 42, 5^{\circ}

eltérítési szög tartozik, valamint az ibolya fényre

α_{i} = 59, 3^{\circ}

és

δ_{i} = 40, 9^{\circ}

Mihály László (Bp., Landler J. techn. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A fénysugár többször is visszaverődhet, mielőtt kilép a vízcseppből. Általában

k

-szoros visszaverődés esetén a kritikus beesési szögre érvényes

\begin{matrix} sin α_{k} = \sqrt[]{\frac{{(k + 1)}^{2} - n^{2}}{{(k + 1)}^{2} - 1}} . \end{matrix}

Mivel a visszaverődésnél a fényenergia nagyobb része törés után kilép a cseppből, a gyakorlatban legfeljebb kétszeres visszaverődéssel kell számolni.
2. A két eltérési szög ismerete felvilágosítást nyújt arra, hogy a főszivárvány vörös körívének miért

42, 5^{\circ}

, s az ibolyának

40, 9^{\circ}

a nyílásszöge, valamint hogy a mellékszivárványnál, mely a kétszeres visszaverődés útján jön létre, a vörös körív miért

50^{\circ} 30'

, s az ibolya

50^{\circ} 46'

nyílásszögű (2. ábra).

2. ábra

Szivárvány ugyanis akkor keletkezik, ha előttünk esik az eső és hátunk mögött süt a Nap, mely nem áll magasan.
Persze a fénytörésen és visszaverődésen kívül elhajlás is szerepet játszik a szivárvány keletkezésénél, főleg ha kicsik az esőcseppek. Ekkor a színek egymásutánjába más színek is keverednek az interferencia miatt, s a jelenség leírása igen bonyolult.

Dózsa Márton.