Kezdőlap


Feladat:	670. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gerhardt Géza , Haber Róbert , Szalay Sándor
Füzet:	1967/december, 232 - 233. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kepler II. törvénye, Kepler III. törvénye, Üstökösök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 670. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Kepler II. törvénye szerint az égitest rádiuszvektora egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol. A $T$ keringési idő alatt súrolt terület a pályaellipszis területe $π a b$ ( $a$ a fél nagytengely, $b$ a fél kistengely hossza). A területi sebesség egyrészt $v_{1} (a - c) / 2$ , másrészt $v_{2} (a + c) / 2$ , ahol $v_{1}$ a sebesség napközelben, $v_{2}$ pedig naptávolban. Így $v_{1} (a - c) T = v_{2} (a + c) T = 2 π a b$ . Innen

\begin{matrix} v_{1} (a - c) T \cdot v_{2} (a + c) T = {(2 π a b)}^{2}, \end{matrix}

és mivel

\begin{matrix} a^{2} - c^{2} = b^{2}, v_{1} \cdot v_{2} = \frac{4 π^{2} a^{2}}{T^{2}} . \end{matrix}

Másrészt

\begin{matrix} \frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{a + c}{a - c}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} v_{1} = \frac{2 a π}{T} \sqrt[]{\frac{a + c}{a - c}}, v_{2} = \frac{2 a π}{T} \sqrt[]{\frac{a - c}{a + c}} . \end{matrix}

Ezután Kepler III. törvénye segítségével kiszámítjuk a pályaellipszis adatait.

\begin{matrix} a^{3} : r^{3} = {(1000 év)}^{2} : {(1 év)}^{2}, azaz a = 100 r, ahol \end{matrix}

r

a Föld átlagos távolsága a Naptól. A feladat adatai szerint

a - c

két naprádiusszal egyenlő, s így

a - c = 2 R

és

a + c = 200 r - 2 R

R = 700 000 km

r = 150 millió km

. A számítást elvégezve azt kapjuk, hogy

v_{1} = 437 km/s

és

v_{2} = 20, 4 m/s

Szalay Sándor (Debrecen, Kossuth L. gyak. g. IV. o. t.)

II. megoldás. Először a pályaellipszis mértani adatait kell kiszámítanunk. A fél nagytengelyre felírjuk Kepler III. törvényét, a Földet felhasználva:

\begin{matrix} 1^{2} : 1000^{2} = {(150 millió km)}^{3} : a^{3} . \end{matrix}

Innen

a = 15 000

millió km. A napközel

(0, 7 + 0, 7)

millió

km=1,4

millió

km

, tehát az excentricitás

c = (15 000 - 1, 4) millió km

. A fél kistengely

\begin{matrix} b = \sqrt[]{a^{2} - c^{2}} = \sqrt[]{41 998} millió km = 204, 9 millió km . \end{matrix}

Napközelben az üstökös távolsága a naptól:

a - c = 1, 4 millió km

, naptávolban:

a + c = 29 998, 6 millió km

.
Az ellipszis területe

a b = 9, 651 \cdot 10^{18} {km}^{2}

\begin{matrix} A területi sebesség \frac{9, 651 \cdot 10^{18} {km}^{2}}{1000 év} = 9, 651 \cdot 10^{15} \frac{{km}^{2}}{3, 15 \cdot 10^{7} s} = 3, 1 \cdot 10^{8} {km}^{2} / s. \end{matrix}

Napközelben ez

v_{1}

alapú,

1, 4 \cdot 10^{6} km

magasságú háromszög területével egyenlő:

\begin{matrix} \frac{v_{1} \cdot 1, 4 \cdot 10^{6} km}{2} = 3, 1 \cdot 10^{8} {km}^{2} / s, így v_{1} = 443 km/s . \end{matrix}

Naptávolban ez a háromszög

v_{2}

alapú és magassága

\begin{matrix} 29 998, 6 \cdot 10^{6} km, \\ \frac{v_{2} \cdot 2, 999 \cdot 10^{10} km}{2} = 3, 1 \cdot 10^{8} {km}^{2} / s, így v_{2} = 0, 021 km/s=21 m/s. \end{matrix}

Haber Róbert (Bp., Táncsics M. g. IV. o. t.)

III. megoldás. Az ellipszis csúcsában a görbületi sugár

ϱ = b^{2} / a

(lásd K. M. L. 1964. 3.). A centripetális gyorsulást a tömegvonzás hozza létre, ezért

v_{1}^{2} / ϱ = f M {(a - c)}^{2}

és

v_{2}^{2} / ϱ = f M {(a + c)}^{2}

, ahol

f

a gravitációs állandó és

M

a Nap tömege, innen

v_{1}

-et és

v_{2}

-t kiszámíthatjuk.

IV. megoldás. Az energiatételt és az

a^{3} / T^{2} = f M / 4 π^{2}

ismert összefüggést felhasználva, mivel

v_{1} / v_{2} = (a + c) / (a - c)

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{1}^{2} - f M \frac{m}{a - c} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - f M \frac{m}{a + c}, \\ v_{1} = \frac{2 a π}{T} \sqrt[]{\frac{a + c}{a - c}}, v_{2} = \sqrt[]{\frac{a - c}{a + c}} \cdot \frac{2 a π}{T} . \end{matrix}

Továbbiakban az előzőkhöz hasonlóan folyik a számítás.