Feladat:	668. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bottyán István
Füzet:	1967/december, 228 - 230. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Ellenállások soros kapcsolása, Ellenállások párhuzamos kapcsolása, Egyéb Ohm-törvény, Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/február: 668. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     1. ábra     2. ábra   A két esetnek megfelelő kapcsolási rajzok az 1. és 2. ábrán láthatók. Jellemezzük a tolóellenállás mozgó érintkezőjének helyzetét egy $0\le x\le 1$ számmal. Legyen $x=0$, ha a csúszka egyik szélső állásában van, $x=1$, ha a másikban, és legyen arányos a csúszkának az $x=0$-hoz tartozó szélső állásától mért távolságával. Általános esetben a potenciométer teljes $R$ ellenállását a csúszka $xR$ és $\left(1-x\right)R$ részekre osztja. A kapcsolási rajzokat ennek megfelelően átrajzolhatjuk (3. és 4. ábra).     3. ábra     4. ábra   Az áramforrás áramát a feszültség és az eredő ellenállás hányadosaként kaphatjuk meg (a továbbiakban az 1., illetve 2. esetnek megfelelő mennyiségeket 1, ill. 2 indexszel fogjuk jelölni): $\begin{array}{c}{\displaystyle I_1=\frac{U}{R_{\text{b}}+R_{\text{f}}+\left(1-x\right)R};I_2=\frac{U}{R_{\text{b}}+\left(1-x\right)R+\frac{xR{R}_{\text{f}}}{xR+R_{\text{f}}}}\mathrm{.}}\end{array}$ Az $R_{\text{f}}$, ellenálláson eső feszültség az első esetben $\begin{array}{c}{\displaystyle U_{{\text{f}}_1}=I_1{R}_{\text{f}}=U\frac{R_{\text{f}}}{R_{\text{b}}+R_{\text{f}}+\left(1-x\right)R};}\end{array}$ a második esetben is hasonló, de itt az $R_{\text{f}}$ helyett az $R_{\text{f}}$ és az $xR$ ellenállások párhuzamos eredőjén folyik át az $I_2$ áram: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_{{\text{f}}_2}=I_2\frac{xR{R}_f}{xR+R_{\text{f}}}=U\frac{xR{R}_{\text{f}}}{R_{\text{f}}\left(R+R_{\text{b}}\right)+xR\left(R+R_{\text{b}}\right)-x^2{R}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ A fogyasztóra adott teljesítmény hatásfoka a fogyasztó $U_{\text{f}}^2/R_{\text{f}}$ teljesítményének és a telep által leadott $UI$ összes teljesítménynek a hányadosa: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\eta }_1}& {\displaystyle =\frac{U_{{\text{f}}_1}^2}{R_{\text{f}}}\cdot \frac{1}{U{I}_1}=\frac{R_{\text{f}}}{U}{I}_1=\frac{R_{\text{f}}}{R_{\text{b}}+R_{\text{f}}+\left(1-x\right)R};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\eta }_2}& {\displaystyle =\frac{U_{{\text{f}}_2}^2}{R_{\text{f}}}\cdot \frac{1}{U{I}_2}=\frac{x^2{R}^2{R}_{\text{f}}}{{\left(xR+R_{\text{f}}\right)}^{2}U}\cdot I_2=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{x^2{R}^2{R}_{\text{f}}}{R_{\text{f}}^2\left(R+R_{\text{b}}\right)+2xR{R}_{\text{f}}\left(R+R_{\text{b}}\right)+x^2{R}^2\left(R+R_{\text{b}}-R_{\text{f}}\right)-x^3{R}^3}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Helyettesítsük be eredményeinkbe a megadott számértékeket: ${\displaystyle \begin{array}{cccc}\hfill {\displaystyle U_{{\text{f}}_1}}& {\displaystyle =\frac{100}{60\mathrm{,}5-10x}\text{V};}\hfill & {\displaystyle U_{{\text{f}}_2}}\hfill & \hfill {\displaystyle =\frac{100x}{52\mathrm{,}5+\mathrm{10,5}x-10x^2}\text{V};}\\ \hfill {\displaystyle {\eta }_1}& {\displaystyle =\frac{50}{60\mathrm{,}5-10x};}\hfill & {\displaystyle {\eta }_2}\hfill & \hfill {\displaystyle =\frac{50x^2}{262\mathrm{,}5+105x-39\mathrm{,}5x^2-10x^3}\mathrm{.}}\end{array}}$     5. ábra   A függvények az 5. ábrán láthatók. Az, hogy a feszültség (számértékektől függetlenül) mindig nagyobb az első esetben, mint a másodikban, könnyen belátható algebrailag is. A tört nevezőjét és számlálóját $xR$-rel osztva: $\begin{array}{c}{\displaystyle U_{f_2}=U\frac{R_{\text{f}}}{R_{\text{b}}+R_{\text{f}}\frac{1}{x}\left(1+\frac{R_{\text{b}}}{R}\right)+\left(1-x\right)R}\mathrm{.}}\end{array}$ Tehát $U_{{\text{f}}_2}>U_{{\text{f}}_1}$, mivel a két tört azonos számlálójú, de az $U_{{\text{f}}_2}$ nevezője mindig nagyobb $\left[\frac{1}{x}\left(1+\frac{R_{\text{b}}}{R}\right)>1\right]$. A teljesítményekre hasonló összehasonlítás végezhető el. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\eta }_2=\frac{R_{\text{f}}}{R_{\text{b}}+R_f\frac{1}{x^2}\left[-x^2+2x\frac{R+R_{\text{b}}}{R}+\frac{R_{\text{f}}\left(R+R_{\text{b}}\right)}{R^2}\right]+\left(1-x\right)R}\mathrm{.}}\end{array}$ Az ${\eta }_1>{\eta }_2$ egyenlőség akkor teljesül, ha ${\eta }_2$ nevezője mindig nagyobb, mint ${\eta }_1$ nevezője, vagyis ha $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2<-x^2+2x\frac{R+R_{\text{b}}}{R}+\frac{R_{\text{f}}\left(R+R_{\text{b}}\right)}{R^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Rendezve az egyenlőtlenséget: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x\left[x-\left(1+\frac{R_{\text{b}}}{R}\right)\right]<\frac{R_{\text{f}}\left(R+R_{\text{b}}\right)}{R^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ez nyilvánvalóan teljesül, hiszen $x\le 1$ pozitív szám, tehát a bal oldal mindig negatív, a jobb oldal mindig pozitív. Tehát láttuk, hogy a potenciométeres kapcsolás segítségével mindig kisebb feszültséget tudunk a fogyasztóra adni, mindig kisebb hatásfokkal (a legtöbb esetben sokkal kisebbel). Azonban az $U_{{\text{f}}_1}$ és $U_{{\text{f}}_2}$ függvények összehasonlításából látszik, hogy mégis van egy nagy előnye a potenciométeres feszültségszabályozásnak: lényegesen nagyobb tartományon változhat a feszültség. Végül észrevehetjük, hogy ha megváltoztatjuk a tolóellenállás csúszkájának helyzetét, a második esetben sokkal nagyobb a feszültségváltozás, mint az első esetben ‐ tehát a soros ellenállással finomabban, illetve kényelmesebben lehet beállítani valamely előre megadott feszültséget.     6. ábra   Tehát soros ellenállásos feszültségszabályozót csak ott használunk, ahol igen lényeges a jó hatásfok (nagy áramoknál, pl. akkumulátorok töltésénél), vagy ahol finom beállításra van szükség. Az utóbbi esetben gyakran használják a 6. ábrán látható kombinált megoldást is.   Bottyán István (Hatvan, Bajza J. g. IV. o.t.) dolgozata alapján.