Feladat: 657. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Battha László ,  Berkes Zoltán ,  Rajta Zsuzsa 
Füzet: 1967/október, 91 - 92. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Sikkondenzátor, Permittivitás (dielektromos állandó), Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/január: 657. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kondenzátor lemezterülete F(dm2), lemeztávolsága d (dm). Az olaj x magasság-hányadban, tehát xd (dm) magasságban töltse meg a kondenzátort (1. ábra). A kapacitás egyenesen arányos a lemezterülettel és fordítva arányos a lemeztávolsággal. Az olajjal töltött rész kapacitása C1=εkF/xd, a levegős rész kapacitása C2=kF/(1-x)d.
 
 
1. ábra
 

Ezek sorba vannak kapcsolva, ezért az eredő kapacitás:
C=C1C2C1+C2=εkFd⋅1ε-(ε-1)x.

Legyen az üres kondenzátor ára A1 Ft, az olaj egységára aFt/dm3. Az olaj térfogata Fxddm3, ára Fxda Ft. Az egész kondenzátor ára:
A=A1+Fdax.
A gazdaságosság:
y=CA=εkFd⋅1[ε-(ε-1)x]⋅[A1+Fdax]==εkFd⋅-1Fda(ε-1)x2+[εFda-(ε-1)A1]x+εA1.


A gazdaságosság akkor a legkisebb, ha a második tört nevezője legnagyobb. Ez a nevező másodfokú, maximumos függvény, maximumát az xm=-b/2a képlet alapján az alábbi értéknél veszi fel:
xm=εFda-(ε-1)A12Fda(ε-1).

Számértékeink: ε=3, F=0,50m2=50dm2, d=1dm, a=40Ft/dm3, A1=200Ft. Ezeket behelyettesítve xm=0,7, így a legkevésbé gazdaságos rétegvastagság 0,7dm=7cm.
 
Battha László (Bp., Eötvös g. IV. o. t.)

 
 
2. ábra
 

Megjegyzés. Jó áttekintést kapunk, ha megvizsgáljuk az egyes mennyiségek függését x-től (2. ábra). A kapacitás függését hiperbolaív adja meg, értékeit első rajzunk εkF/d-ben mérve tünteti fel. Ha F területet dm2-ben, d lemeztávolságot dm-ben és C kapacitást pF-ban mérjük, akkor k=0,77. Az üres kondenzátor kapacitása 38,5 pF, a megtöltötté 115,5 pF, 0,7-nél pedig 75 pF. A forintban feltüntett ár függését a második rajz lineáris függvénye adja meg; x=0-nál 200 Ft, x=0,7-nél 1600 Ft, x=1-nél 2200 Ft. A harmadik függvény a gazdaságosságot ábrázolja 10-4εkF/dFt-ban; ez x=0-nál 0,177 pF/Ft, x=0,7-nél 0,0469 pF/Ft, x=1-nél pedig 0,0525 pF/Ft.
Berkes Zoltán (Bp., Bolyai g. IV. o. t.) és
Rajta Zsuzsa (Bp., Fazekas g. IV. o. t.).