Feladat: 656. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1967/október, 89 - 91. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Csúszó súrlódás, Tömegpont egyensúlya, Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/január: 656. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A megoldás történhet a Lapok 1966. évi 7. (1966/10.) számában a 85. oldalon olvasható eljárás szerint. P erő lejtőre merőleges összetevője Psinβ (ezzel ellentétes irányú a lejtő anyaga által kifejtett kényszererő). A tárgy és a lejtő között az összenyomó erő mgcosα-Psinβ és a surlódási erő μ(mgcosα-Psinβ). Leeresztéskor a surlódási erő segít tartani a tárgyat, tehát P erő lejtőmenti összetevője egyenlő a súly lejtőmenti összetevőjének és a surlódási erőnek a különbségével (1. ábra):

Pcosβ=mgsinα-μ(mgcosα-Psinβ).

 
 

Innen az egyensúlyban tartáshoz szükséges erő:
P=mgsinα-μcosαcosβ-μsinβ.(1)
Bevezetve a surlódási határszöget, P=tgε segítségével:
P=mgsin(α-ε)cos(β+ε).(2)
Természetesen csak α>ε esetében vizsgáljuk a kérdést, különben a test lefelé vonszolásához kellene erőt kifejtenünk.
Keressük az egyensúlyban tartáshoz szükséges P erők végpontjainak mértani helyét, ha β szöget változtatjuk. P erő akkor a legkisebb, ha cos(β+ε)=1, vagyis β+ε=0, tehát β=-ε. Tehát a kötelet ε szöggel kell a lejtő alá irányítani. A legkisebb lehetséges erő AC=mgsin(α-ε). Az ACX derékszögű háromszögben az X-nél levő szög α-ε, tehát AX=mg, a tárgy súlya. Tetszőleges β irányú erő végpontját úgy kapjuk meg P erő (2) képlete szerint, hogy a minimális AC erőt elosztjuk β+ε cosinusával. Tehát P végpontjainak mértani helye a C-n átmenő, AC-re merőleges (és X-en átmenő) egyenes.
β szög számára a megengedett szögtartomány most is a lejtő felett (pozitív irányban) 0∘-tól 90∘-α-ig terjed. Ennél nagyobb szögnél P erő leemelné a testet a lejtőről. A lejtő alá fordulva (negatív irányban) β szög abszolút értéke 0∘-tól 90∘+ε-ig terjed. Ennél nagyobb abszolút értékű β szögnél P erő végpontja nem kerülhetne a mértani helyre. Ábránkon a kettős ívű szögek jelentik azokat a határokat, amelyeken belül β változhat.
 
(Helyreigazítás. 1966. évi 7. számban a 85. oldalon könnyen észrevehető módon az 5. ábra legfelső pontja X és a 6. ábrán az X-nél levő szög α+ε.)
 
II. megoldás. Mivel a test egyenesvonalú egyenletes mozgást végez, a testre ható erők eredőjének 0-nak kell lennie. Jelöljük a kényszererőt K-val, akkor a csúszás folytán a surlódási erő μK és a lejtőn felfelé mutat. Felírjuk azt, hogy a lejtőre ható erők eredője zérus a lejtőre merőlegesen és a lejtő irányában:
mgcosα-K-Psinβ=0,mgsinα-μK-Pcosβ=0.
Ezt az egyenletrendszert megoldjuk K-ra és P-re:
K=mgcosα-Psinβ,(3)P=mgsinα-μcosαcosβ-μsinβ=mgsin(α-ε)cos(β+ε).(1),(2)



Mivel csak olyan lejtőkkel foglalkozunk, amelyeknél α>ε, (2) számlálója biztosan pozitív. Pozitív P erőt akkor fogunk kapni, ha a nevező is pozitív.
Ez azt jelenti, hogy lefelé mutató (negatív) β szögek abszolút értéke 90∘+ε-ig terjedhet, mert akkor β+ε nem lépi túl a 90∘-ot. Felfelé mutató (pozitív) β szögek esetében meg kell vizsgálnunk, milyen határok között marad a kényszererő pozitív. A (2) szerinti eredményt (3)-ba helyettesítve, átalakítással kapjuk a kényszererő számára:
K=mgcosεcos(α+β)cos(β+ε).
A kényszererő addig pozitív, amíg α+β nem több 90∘-nál. Ábránkra tekintve látjuk, ez azt jelenti, hogy felfelé irányuló β szög szára nem kerülhet a függőlegestől balra.
 
 

Az áttekintést megkönnyíti, ha ábrázoljuk P egyensúlyozó erő és K kényszererő függését β szögtől (2. ábra baloldali rajza). P húzóerő görbéje ε szöggel balra csúsztatott secans-függvény, K kényszererő görbéje pedig 90∘+ε szöggel balra csúsztatott és felemelt cotangens-függvény. Az ábrák vizsgálatából is látszik, hogy β számára -(90∘+ε) és 90∘-α közötti értékek lehetségesek.
Ugyanezzel a gondolatmenettel tárgyalható az 1966. évi tanulmányi verseny II. fordulójának 2. feladata is, amikor a tárgyat fel kellett húzni a lejtőn. Ekkor a húzóerő és a kényszererő számára adódó eredmények:
P=mgsin(α+ε)cos(β+ε),K=mgcosεcos(β+α)cos(β-ε).
β-tól való függésüket a 2. ábra jobboldali rajza tünteti fel. Most P secans görbéje ε szöggel, K cotangensgörbéje 90∘-ε szöggel jobbra van eltolva. β számára az érvényességi terület -(90∘-ε) és 90∘-α között van.