Kezdőlap


Feladat:	653. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajmóczy Ervin , Bálványos Zoltán , Fischer Ágnes , Maróti Péter , Pintz János , Sághy András
Füzet:	1967/szeptember, 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tömegközéppont helye, Egyéb síkmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/január: 653. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Szimmetria okok miatt a pontok állandóan egy olyan szabályos háromszög csúcspontjait alkotják, amelynek középpontja azonos az eredetiével, és az eredeti elforgatása és zsugorítása révén jön létre. Így a pontok a szabályos háromszög középpontjában találkoznak. A találkozás véges idő múlva bekövetkezik, mivel két pont relatív sebessége, $v + v \cdot cos 60^{\circ} = 3 v / 2$ , állandó. A pontok kezdeti távolsága a háromszög $a$ oldala, s így a mozgás ideje $t = 2 a / 3 v$ . A pontok sebességének nagysága $v$ , ezért a találkozásig befutott út $v t = 2 a / 3$ .
Sághy András (Bp., Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)

II. megoldás. Bármelyik pont sebességvektora a pontot a szabályos háromszög középpontjával összekötő egyenessel

30^{\circ}

-os szöget zár be, ezért az ilyen irányú sebesség

v \cdot cos 30^{\circ} = v \sqrt[]{3} / 2

. Ezzel az állandó sebességgel közeledve a középponthoz, mivel kezdeti távolságuk

a \sqrt[]{3} / 3

, azt

t = 2 a / 3 v

idő alatt elérik. Mindhárom pont ugyanolyan sebességgel halad a középpont felé, ezért a

t

pillanatban ott találkoznak, és az egy pont által megtett út hossza

v t = 2 a / 3

.
Bajmóczy Ervin (Bp., II. Ady Endre ált. isk. 8. o. t.)

III. megoldás. Tételezzük fel, hogy a sebesség igen kis idő alatt nem változik. Ekkor a pontok az eredeti háromszög oldalain kis

s

elmozdulást végeznek, és az eredetihez hasonló háromszög csúcsaiban helyezkednek el. A hasonlósági arány

1 : \sqrt[]{1 - 3 s + 3 s^{2}}

. Szimmetria okok miatt a pontok a középpontban találkoznak. Ha az eredeti háromszögben a találkozásig

x

utat kell a pontoknak megtenniük, akkor a kis

s

elmozdulás után már csak

x \sqrt[]{1 - 3 s + 3 s^{2}}

utat, s innen

s = x - x \sqrt[]{1 - 3 s + 3 s^{2}}

, ahonnan

x = \frac{1 + \sqrt[]{1 + 3 s^{2} - 3 s}}{3 (1 - s)}

.
Az így kapott eredmény pontatlan, mivel feltételeztük, hogy az igen kicsiny útszakaszon a sebesség nem változik. Az

s

-et azonban tetszőleges kicsinek választhatjuk és ekkor az

x

tetszőleges előre megadott pontossággal fog

2 / 3

-tól eltérni, azaz az egy pont által megtett út a háromszög oldalának

2 / 3

-szorosa.
Pintz János (Bp., Fazekas M. gyak. g. II. o. t.),
Fischer Ágnes (Bp., Móricz Zs. g. I. o. t.)

Megjegyzés. A pontok pályája logaritmikus spirális, olyan görbe, amely minden, egy adott

0

pontból kiinduló félegyenest ugyanakkora szög alatt metsz. Esetünkben ez a szög

30^{\circ}