A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Szimmetria okok miatt a pontok állandóan egy olyan szabályos háromszög csúcspontjait alkotják, amelynek középpontja azonos az eredetiével, és az eredeti elforgatása és zsugorítása révén jön létre. Így a pontok a szabályos háromszög középpontjában találkoznak. A találkozás véges idő múlva bekövetkezik, mivel két pont relatív sebessége, , állandó. A pontok kezdeti távolsága a háromszög oldala, s így a mozgás ideje . A pontok sebességének nagysága , ezért a találkozásig befutott út . Sághy András (Bp., Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)
II. megoldás. Bármelyik pont sebességvektora a pontot a szabályos háromszög középpontjával összekötő egyenessel -os szöget zár be, ezért az ilyen irányú sebesség . Ezzel az állandó sebességgel közeledve a középponthoz, mivel kezdeti távolságuk , azt idő alatt elérik. Mindhárom pont ugyanolyan sebességgel halad a középpont felé, ezért a pillanatban ott találkoznak, és az egy pont által megtett út hossza . Bajmóczy Ervin (Bp., II. Ady Endre ált. isk. 8. o. t.)
III. megoldás. Tételezzük fel, hogy a sebesség igen kis idő alatt nem változik. Ekkor a pontok az eredeti háromszög oldalain kis elmozdulást végeznek, és az eredetihez hasonló háromszög csúcsaiban helyezkednek el. A hasonlósági arány . Szimmetria okok miatt a pontok a középpontban találkoznak. Ha az eredeti háromszögben a találkozásig utat kell a pontoknak megtenniük, akkor a kis elmozdulás után már csak utat, s innen , ahonnan . Az így kapott eredmény pontatlan, mivel feltételeztük, hogy az igen kicsiny útszakaszon a sebesség nem változik. Az -et azonban tetszőleges kicsinek választhatjuk és ekkor az tetszőleges előre megadott pontossággal fog -tól eltérni, azaz az egy pont által megtett út a háromszög oldalának -szorosa. Pintz János (Bp., Fazekas M. gyak. g. II. o. t.), Fischer Ágnes (Bp., Móricz Zs. g. I. o. t.)
Megjegyzés. A pontok pályája logaritmikus spirális, olyan görbe, amely minden, egy adott pontból kiinduló félegyenest ugyanakkora szög alatt metsz. Esetünkben ez a szög . |