A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. a) Az impulzus (mozgásmennyiség) megmaradásának törvénye értelmében a rendszer tömegközéppontja sebességgel egyenesvonalú egyenletes mozgást végez, mivel külső erő nem hat. Így egyszerre két ekvivalens inerciarendszerben vizsgálhatjuk a mozgást: a földhöz rögzített, ún. laboratóriumi koordináta-rendszerben, amelyhez viszonyított koordinátákat és sebességeket kisbetűvel jelöljük, és a tömegközépponthoz rögzített koordináta-rendszerben, amelyben a mozgás leírására a nagybetűket használjuk. A két rendszer origója a pillanatban essen egybe. Ekkor az egyes tömegek sebessége a tömegközépponti rendszerben:
Ebben a koordináta-rendszerben a rugó középpontja mozdulatlan, akár rögzíthetjük is. Olyan, mintha a tömegeket az origóba erősített nyugalmi hosszúságú rugóhoz kötöttük volna, amelynek direkciós ereje (ugyanis a fele hosszúságú rugót ugyanakkora erő csak felére nyújtja meg). A szimmetria miatt elegendő csak az tömeggel foglalkozni, mert mozgását ()-gyel való szorzással kapjuk (a tömegközépponti rendszerben). A testre az pontban nem hat erő, de ebből kimozdítva erő hat rá, amelynek hatására körfrekvenciájú harmonikus rezgőmozgás jön létre, ennek egyenlete:
Mivel a pillanatban helyen tartózkodott, és sebessége volt, ezért a behelyettesítés után -ra és -re megoldva az egyenleteket, a rezgés amplitúdója fázisszöge: A feladat numerikus adataival: | |
A laboratóriumi rendszerre visszatérve:
b) Tegyük fel, hogy a út megtétele után pillanatban ütközik, ekkor: | |
Ez az egyenlet elvileg megoldható -ra. Ekkor a sebesség: | |
A végtelen tömegű falba való ütközés után sebessége az ellentettjére változik, de -é változatlan marad, tehát:
A rugó hossza ebben a pillanatban: A tömegközéppont sebessége az ütközés után: | | ami azt jelenti, hogy az ütközés után egy, a földhöz képest megváltozott sebességű tömegközépponti koordináta-rendszert kell használni. Ezzel a feladatot visszavezettük az előzőre, csak most helyett pillanatban ismerjük a rendszer állapotát, vagyis most kezdőfeltételként a vesszőtlen mennyiségek helyett a vesszősekkel kell számolni. Így a numerikus számolásnál csak meghatározása jelent problémát, ugyanis nem állítható elő algebrailag zárt alakban, viszont tetszőleges pontossággal meghatározható. A továbbiakban egy igen egyszerű közelítést fogunk alkalmazni. Behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk arról, hogy 10 teljes rezgést végezhet a rendszer ütközés nélkül. Mivel egy rezgés ideje , ezért bevezetve új változót, az egyenlet így alakul: | | ebből | |
Mivel esetén , és ekkor az egyenlet jobb oldala már meghaladja a baloldalt, ezért a megoldás tartományban lesz, ahol közelítőleg Ezzel megoldva az egyenletet: , ill. . A radiánt fokra átszámítva: , ennek sinusa: , vagyis közelítő feltevésünk százalék pontossággal teljesül. Ezzel a -gyel számolva:
ahol értéket kell venni, mert csak így lesz negatív. (Érdemes megjegyezni, hogy az ütközés hatására ,,fordított'' fázisban folytatódik a rezgés. (A mozgás további részét vizsgálva látszik, hogy a rendszer újabb ütközés nélkül megindul visszafelé, de a visszafelé haladás sebessége jóval kisebb, mert az energia nagyrészt rezgési energiává alakult. c) 1. Ha az ütközéskor, pillanatban a rugó hossza maximális: , akkor a sebességek: Az ütközés után: és . | | Vagyis a tömegközéppont leáll, és egy nagyobb amplitúdójú rezgőmozgás kezdődik. A rugó először összenyomódik, majd mikor újra hosszúságúra nyúlik, a sebességek és lesznek. Ekkor ütközik, és az ütközés utáni sebességek: Vagyis a rendszer az eredeti sebességgel és rezgési amplitúdóval megindul visszafelé. 2. Ha pillanatban , akkor lényegében ugyanaz történik, mint előbb, csak ekkor a tömegközéppont leállásának ideje egy fél periódussal kisebb. 3. Ha pillanatban , akkor , a sebességek pedig és . Ütközés után: | | Vagyis a rezgési és haladási energia felcserélődik. Mivel , és arányától függően több alesetet kellene végignézni, ezért ennek részletezésétől egyelőre eltekintünk, már csak azért is, mert lehet, hogy egy külön feladat tárgya lesz, ugyanis a megoldást beküldők egyike sem vizsgálta meg mélyebben ezt a kérdést.
Rácz Miklós (honvéd),
Gnädig Péter (I. é. fizikus, Budapest)
|