Kezdőlap


Feladat:	646. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Takács László
Füzet:	1967/május, 236 - 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Munka, Közegellenállás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/december: 646. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A munkavégzés függ attól, hogy milyen, egymáshoz viszonyítva egyenletes sebességgel mozgó koordinátarendszerekben nézzük. Ebben a példákban a vízhez képest evezünk, tehát a végzett munkát a vízhez rögzített koordinátarendszerben kell felírni. Nem érdekel bennünket az a munka, amelyet a folyó víz végez.
A közegellenállási erő a sebesség négyzetével arányos; $F = k v^{2}$ , $k$ az arányossági tényező.
Számítsuk ki, hogy azalatt, amíg a csónak a kiindulási helyére visszaér, mekkora utat tesz meg a vízhez képest. A folyón felfelé menve a parthoz viszonyított sebességünk $v - c$ , ezzel $s$ utat teszünk meg, ehhez

\begin{matrix} t_{f} = \frac{s}{v - c} \end{matrix}

idő szükséges. Lefelé a sebesség

v + c

, az idő

\begin{matrix} t_{l} = \frac{s}{v + c} . \end{matrix}

Az összidő

\begin{matrix} t_{f} + t_{l} = \frac{s}{v - c} + \frac{s}{v + c} = \frac{2 s v}{v^{2} - c^{2}}, \end{matrix}

és mivel a folyóhoz képest

v

-vel haladunk, az út a folyóhoz rögzített koordinátarendszerben

S = \frac{2 s v^{2}}{v^{2} - c^{2}}

. A végzett munka:

\begin{matrix} L = P S = 2 s k \frac{v^{4}}{v^{2} - c^{2}} . \end{matrix}

A feladatban a

\frac{v^{4}}{v^{2} - c^{2}}

kifejezés minimumát kell megkeresni. Legyen

v^{2} = c^{2} x

, ekkor

\begin{matrix} \frac{v^{4}}{v^{2} - c^{2}} = c^{2} \frac{x^{2}}{x - 1} = c^{2} \frac{x^{2} - 1 + 1}{x - 1} = c^{2} \frac{(x - 1) (x + 1) + 1}{x - 1} = \\ = c^{2} ((x + 1) + \frac{1}{x - 1}) = c^{2} [(x - 1) - 2 + \frac{1}{x - 1} + 4] = c^{2} [{(\sqrt[]{x - 1} - \frac{1}{\sqrt[]{x - 1}})}^{2} + 4] . \end{matrix}

Ennek akkor van minimuma, ha a négyzet nulla. Ekkor:

\begin{matrix} \sqrt[]{x - 1} = \frac{1}{\sqrt[]{x - 1}}, x - 1 = 1, x = 2, azaz v^{2} = 2 c^{2} . \end{matrix}

Tehát a keresett sebesség:

v = \sqrt[]{2} c

.
Behelyettesítve a

c = 1, 5

m/s számértéket

v = 2, 1

m/s.

Takács László (Sopron, Széchenyi I. g. III. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzés. A feladat megoldásában

v

kiszámításánál nem szerepel az

s

, tehát ez a sebesség független az úttól, és csak a folyó sebességétől függ.