Feladat:	641. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1967/május, 231 - 233. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/december: 641. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Oldjuk meg a feladatot úgy, hogy csak az egyik fél‐hasábot vesszük figyelembe (a másik felet távolítsuk el), föltételezve, hogy a megmaradt fél csúszásmentesen támaszkodik az alapzatra. Vizsgáljuk meg, hogy milyen erők hatnak a fél‐hasábra. A szimmetriaviszonyokból látszik, hogy valamennyi erővektor benne van a hasáb éleire merőleges, a két rudat tartalmazó síkban. Mivel a hasáb és az alapzat között súrlódás is van, a közöttük levő erőhatás nem lesz merőleges a felületre, függőleges komponense $P_1$, vízszintes komponense $P_2$. A fél‐hasábra hat a súlyerő ($Q/2$) a súlypontban és a rúd támasztó ereje (1. ábra).     1. ábra   Mivel a rúd csúszásmentesen (azaz nem súrlódás nélkül) csatlakozik a hasábhoz, a rúd által gyakorolt erőnek az irányát sem ismerjük. Ezért tekintsük ismeretlennek ezen $F$ erő függőleges ($F_1$) és vízszintes ($F_2$) komponensét. A fél‐hasábra más erő nem hat. Írjuk fel az egyensúly feltételeit. A testre ható erők vízszintes és függőleges komponenseinek eredője nulla: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_2-F_2=0;P_1-Q/2+F_1=0.}\end{array}$ A testre ható erőknek (például az $A$ pontra vonatkozó) forgatónyomatékainak összege nulla: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{6}\cdot \frac{Q}{2}-\frac{a}{2}{F}_1-\frac{a\sqrt[]{3}}{2}{F}_2=0.}\end{array}$     2. ábra   A rúdra ható erők (2. ábra): a hasáb hatása ($F$), a súlyerő ($G$ a rúd súlya) és az alapzat által gyakorolt erő ($R$) (súrlódás van, ezért az $R_1$ és $R_2$ komponensek ismeretlenek). Az egyensúly három feltétele az előzőkhöz hasonlóan: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle F_2-R_2=0;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle F_1+G-R_1=\mathrm{0,}}\hfill \end{array}}$ és a forgatónyomatékok egyensúlya a $C$ pontra: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{4}\cdot G+\frac{a}{2}{F}_1-\frac{a\sqrt[]{3}}{2}{F}_2=0.}\end{array}$ Így az egyensúly feltételére hat egyenletünk van, összesen hat ismeretlennel ($P_1$; $P_2$; $F_1$; $F_2$; $R_1$; $R_2$). Az egyenletrendszer megoldása: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle F_1}& {\displaystyle =\frac{1}{12}Q-\frac{1}{4}G;F_2=\frac{1}{12\sqrt[]{3}}Q+\frac{1}{4\sqrt[]{3}}G;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle P_1}& {\displaystyle =\frac{5}{12}Q+\frac{1}{4}G;P_2=\frac{1}{12\sqrt[]{3}}Q+\frac{1}{4\sqrt[]{3}}G;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle R_1}& {\displaystyle =\frac{1}{12}Q+\frac{3}{4}G;R_2=\frac{1}{12\sqrt[]{3}}Q+\frac{1}{4\sqrt[]{3}}G\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ha súlytalan rúddal támasztjuk ki a hasábot ($G=0$) és $Q=18$ kp, a végeredmény a következő: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle F=\sqrt[]{F_1^2+F_2^2}=\sqrt[]{3}\text{kp}\approx 1\mathrm{,}73\text{kp};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle P_1=7\mathrm{,}5\text{kp};P_2=\frac{\sqrt[]{3}}{2}\text{kp}\approx 0\mathrm{,}86\text{kp}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ $F$ irányát úgy állapíthatjuk meg, hogy képezzük a két komponensének hányadosát: $F_1/F_2=\sqrt[]{3}$, ez éppen $\text{tg}{60}^{\circ }$ ‐ az $F$ erő rúdirányú. (Látható, hogy a $G=0$ esetben $F$ mindig rúdirányú, ha ellenben $G\ne 0$, akkor általában nem rúdirányú, mint ebben a konkrét esetben.) Hátra van még annak vizsgálata, hogy mi a különbség a vizsgált és a valódi eset (mind a két fél‐hasáb jelen van) között. A két fél‐hasáb szimmetria okok miatt csak vízszintes irányban tudja egymást taszítani. Ez azt jelenti, hogy az egyes fél‐hasábokra az $A$ pontban ható erő vízszintes komponensének egy részét a másik hasáb, a másik részét az alapzat súrlódási ereje adja. Hogy a két erő milyen arányú, az sztatikailag határozatlan, hiszen attól függ, hogyan helyeztük el a rendszert (előre megfeszítve vagy csak egymás mellé téve) az alapzaton. Természetesen, ha azt tételezzük fel, hogy a hasáb és az asztal között nincs súrlódás, akkor a feladat sztatikailag határozott lesz, a $P_2$ erő egyértelműen a két fél‐hasáb közötti kölcsönhatás. Ez azonban nem is kérdés, a feladat megoldása: a felső éleknél a hasábokra a már megadott $F$ erők hatnak, az alsó élnél pedig a függőlegesen felfelé irányuló $2P_1=15$ kp nagyságú nyomóerő hat.   Megjegyzések. 1. A feladatot egyetlen megoldó sem oldotta meg, mivel a legtöbben eleve feltételezték azt, hogy az $F$ erő rúdirányú, és erre indoklást nem adtak. Ha a megoldás különben jó volt, 1 pontot kaptak rá. Ez az indokolatlan feltevés súlyos hiba, mivel (ahogy a megoldásból látszik) a rúdban általában nem rúdirányú az erő. A súlytalan rúdban (könnyen belátható) az erő mindig rúdirányú, de erre egyetlen megoldó sem célzott. 2. Többen azt állították, hogy ,,mivel a rendszer szimmetrikus, a két fél‐hasáb között semmiféle kölcsönhatás nincs''. Az állítás nyilvánvalóan helytelen, a helyes következtetés az, hogy ilyen esetben csak szimmetrikus (esetünkben vízszintes vagy függőleges irányú) erőhatás léphet fel. 3. Sok megoldó azt a hibát követte el a számításnál, hogy például az $F$ erőnek az $A$ pontra vonatkozó forgatónyomatékát az $F_1$ erő forgatónyomatékával azonosította. Ez is súlyos hiba, ilyen gondolatmenet csak akkor jó, ha az erő másik komponensének hatásvonala átmegy az $A$ ponton. Az ilyen hibát tartalmazó megoldások nem kaptak pontot.