Kezdőlap


Feladat:	625. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gnädig Péter , Pintz János
Füzet:	1967/március, 136 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összetartó erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/október: 625. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A fonalakban fellépő $P$ erők a szimmetriaviszonyok miatt egyenlő nagyságúak, s vízszintes komponenseik egyensúlyban vannak. Így elég a függőleges vetületekkel számolni. Ha a fonál hosszát $ℓ$ -lel, a kampók távolságát $d$ -vel jelöljük, akkor az 1. ábra szerinti $α$ szögre fennáll, hogy

\begin{matrix} sin α = \frac{O A}{A S} = \frac{d \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot \frac{2}{3}}{ℓ} = \frac{d}{\sqrt[]{3} \cdot ℓ} . \end{matrix}

P

erő függőleges komponense

\begin{matrix} P' = P \cdot cos α = P \cdot \sqrt[]{1 - {sin}^{2} α} = P \sqrt[]{1 - \frac{d^{2}}{{3 l}^{2}}} . \end{matrix}

Ez a súly harmadrészével tart egyensúlyt, így

G / 3 = P'

, ahonnan

\begin{matrix} P = \frac{G}{3 \sqrt[]{1 - \frac{d^{2}}{{3 ℓ}^{2}}}} \end{matrix}

Numerikus adatokkal

\begin{matrix} P = \frac{10 \sqrt[]{3}}{\sqrt[]{26}} \approx 3, 39 kp . \end{matrix}

1. ábra

A feladat második részének tárgyalásánál meg kell vizsgálni, hogy a felfüggesztett test milyen módon mozdulhat el oldalirányban. Két minőségileg különböző eset van:
a) a mozgás közben két fonál feszes marad,
b) csak egyetlen fonál gyakorol erőt a testre.
A 2. ábrán látható a test mozgási felülete. A szimmetria miatt csak egy tér-harmadot ábrázoltunk.

2. ábra

Ha az

A

és

B

pontokból kiinduló fonal feszül, akkor a test pályája az

S C'

, ha a

B

és

C

pontokhoz tartozó fonal feszes, akkor az

S A'

. Ha csak a

B

-hez tartozó fonal feszül, akkor a lehetséges pálya az

S A' C'

pontok által határolt gömbfelület-darabon helyezkedik el, melynek középpontja

B

. A teljes kényszerfeltételt a fenti és még két gömbfelület-rész képviseli, melyek a fentihez az

O S A'

és

O S C'

síkoknál kapcsolódnak.
A test pályája egy körív, mely az

S

pontból indul ki. Könnyű belátni, hogy ezen körívek

S

pontbeli érintői közül a vízszintessel az

S A'

(vagy

S C'

) körív érintője zár be legkisebb szöget

(Ψ)

és az

O S B

síkban levő érintő (középeset) a legnagyobb szöget

(φ)

. Ez azért lényeges, mert az első esetben lehet a legkisebb erővel kimozdítani a testet.
Vizsgáljuk ezek után az

S A'

-n történő mozgást

S

kis környezetében! A körpálya sugara

S A_{1}

, amelynek hossza

r = S A_{1} = \sqrt[]{ℓ^{2} - {(\frac{d}{2})}^{2}}

. Szükség van még az

a = O A_{1} = \frac{A A_{1}}{3} = \frac{d \sqrt[]{3}}{2 \cdot 3} = \frac{d}{2 \sqrt[]{3}}

értékre.

3. ábra

Az ingamozgás összefüggéseit használhatjuk, mivel a

C

és

B

pontokhoz tartozó fonal helyettesíthető egyetlen

r

hosszúságú,

A_{1}

-ben rögzített fonallal (3. ábra).
Ahhoz, hogy a testet

S

pontból kimozdítsuk,

P_{s} = G \frac{a}{r}

erőre van szükség. Ha viszont azt akarjuk, hogy a test

S'

pontba kerüljön és ott stabilan megmaradjon, ahhoz

P'_{s} = G \frac{a + h}{r}

erőre van szükség

(h ≪ r)

. Ez a feladat statikus megoldása. Ha azonban nem szükséges, hogy a test

P'

-ben maradjon, csak az, hogy odáig kilendüljön, akkor kisebb erő is elegendő. Kis

h

esetén az erő a kitérés lineáris függvényének tekinthető, s így a keresett erő

P_{3}

és

P'_{s}

számtani közepe. Ez az erő

h / 2

-ig gyorsítja a testet, majd

h / 2

-től

h

-ig a test éppen zérus sebességre lassul.
Numerikus adatokkal:

\begin{matrix} P_{s} = G \cdot \frac{a}{r} = G \cdot \frac{\frac{d}{2 \sqrt[]{3}}}{\sqrt[]{ℓ^{2} - {(\frac{d}{2})}^{2}}} = 10 kp \cdot \frac{0, 288 m}{2, 958 m} = 0, 98 kp, \\ P'_{s} = G \cdot \frac{a + h}{r} = 10 kp \cdot \frac{0, 388}{2, 958} = 1, 31 kp, P_{2} = \frac{P_{s} + P'_{s}}{2} = 1, 15 kp . \end{matrix}

Megjegyzés. Ha a kitérítő erő csak vízszintes lehet, akkor a fenti érték

\begin{matrix} P_{s} = \frac{1}{\sqrt[]{1 - \frac{a^{2}}{r^{2}}}} kp = \frac{1}{\sqrt[]{1 - {0, 1}^{2}}} kp = \frac{1}{\sqrt[]{0, 99}} kp . \end{matrix}

Gnädig Péter