Kezdőlap


Feladat:	622. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bor Zsolt , Bottyán István , Hegedűs Dezső
Füzet:	1967/február, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sikkondenzátor, Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása, Kondenzátorok soros kapcsolása, Permittivitás (dielektromos állandó), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/szeptember: 622. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy a síkkondenzátor kapacitása egyenesen arányos a dielektromos állandóval és a szemben álló felületek nagyságával és fordítva azok egymástól mért távolságával.

1. ábra

2. ábra

Látható az ábrák alapján, hogy az 1. eset felfogható úgy, mint két sorosan, a 2. pedig úgy, mint két párhuzamosan kapcsolt kondenzátor. Jelöljük

C

-vel a kondenzátor vákuumban mért kapacitását! Akkor az ábrák jelöléseit használva:

\begin{matrix} C'_{1} = 2 ε_{1} C és C'_{2} = 2 ε_{2} C, \end{matrix}

mert a rész‐kondenzátorok fegyverzettávolsága fele az eredetiének. Így az eredő kapacitás:

\begin{matrix} C_{I} = \frac{C'_{1} C'_{2}}{C'_{1} + C'_{2}} = 2 C \frac{ε_{1} ε_{2}}{ε_{1} + ε_{2}} . \end{matrix}

(1)

A 2. esetben a rész-kapacitások

\begin{matrix} C''_{1} = \frac{1}{2} ε_{1} C és C''_{2} = \frac{1}{2} ε_{2} C, \end{matrix}

mert most a felület nagysága fele az eredetiének egy részkondenzátor esetében. Most az eredő kapacitás:

\begin{matrix} C_{II} = C''_{1} + C''_{2} = \frac{1}{2} C (ε_{1} + ε_{2}) . \end{matrix}

(2)

Látható, hogy az első eset egyenértékű azzal, mintha a kondenzátor fegyverzetei közé egy homogén,

ε_{I} = \frac{2 ε_{1} ε_{2}}{ε_{1} + ε_{2}}

dielektromos állandójú, a második eset pedig azzal, mintha

ε_{II} = \frac{ε_{1} + ε_{2}}{2}

dielektromos állandójú dielektrikumot helyeznénk.

ε_{I}

ε_{1}

és

ε_{2}

harmonikus,

ε_{II}

pedig

ε_{1}

és

ε_{2}

számtani közepe. Így

C_{II} \geq C_{I}

, és az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha

ε_{1} = ε_{2}

.
A számtani és harmonikus közép fogalmának felhasználása nélkül is megkaphatjuk ezt az eredményt. (1) és (2)-ből:

\begin{matrix} \frac{C_{II}}{C_{I}} = \frac{{(ε_{1} + ε_{2})}^{2}}{4 ε_{1} ε_{2}} = \frac{{(ε_{1} - ε_{2})}^{2} + 4 ε_{1} ε_{2}}{4 ε_{1} ε_{2}} = 1 + \frac{{(ε_{1} - ε_{2})}^{2}}{4 ε_{1} ε_{2}} . \end{matrix}

A második tagról világos, hogy nem negatív, és 0 akkor és csak akkor, ha

ε_{1} = ε_{2}

. (Természetesen

ε_{1} > 0

;

ε_{2} > 0

teljesül, hiszen még

ε_{1} \geq 1

;

ε_{2} \geq 1

is igaz.)

Hegedűs Dezső (Hatvan, Bajza J. g. IV. o. t.)