Kezdőlap


Feladat:	618. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	D. Tóth Balázs , Marossy Ferenc
Füzet:	1967/február, 87 - 88. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/szeptember: 618. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk a testek mozgását adott tömegek mellett. Ha a kötélerőt $K$ -val jelöljük és a gyorsulásokat az ábrán látható módon vesszük fel, akkor a mozgásegyenletek:

\begin{matrix} m_{1} a_{1} & = K, & (1) \\ m_{2} a_{2} & = m_{2} g - 2 K, & (2) \\ m_{3} a_{3} & = K - m_{3} g . & (3) \end{matrix}

Ezekhez járul még a kötél állandó hosszát kifejező egyenlet:

\begin{matrix} a_{1} - 2 a_{2} + a_{3} = 0. \end{matrix}

(4)

Az (1)‐(4) egyenletrendszerből fejezzük ki

a_{2}

és

a_{3}

-t!

\begin{matrix} a_{2} & = \frac{m_{1} m_{2} + m_{2} m_{3} - 2 m_{1} m_{3}}{m_{1} m_{2} + m_{2} m_{3} + 4 m_{1} m_{3}} g, & (5) \\ a_{3} & = \frac{2 m_{1} m_{2} - m_{2} m_{3} - 4 m_{1} m_{3}}{m_{1} m_{2} + m_{2} m_{3} + 4 m_{1} m_{3}} g . & (6) \end{matrix}

Ahhoz, hogy

m_{2}

nyugalomban maradjon, szükséges az

a_{2} = 0

feltétel teljesülése. Ez (5) alapján akkor igaz, ha

m_{1} m_{2} + m_{2} m_{3} - 2 m_{1} m_{2} = 0

, vagyis

\begin{matrix} m_{1} = \frac{m_{2} m_{3}}{2 m_{3} - m_{2}}, illetve m_{3} = \frac{m_{1} m_{2}}{2 m_{1} - m_{2}} . \end{matrix}

Adott

m_{2}

érték mellett tetszőleges

m_{1}

vagy

m_{3}

választással kiszámíthatjuk a harmadik tömeget. Látható, hogy csak akkor kapunk pozitív értéket, ha

\begin{matrix} m_{3} > \frac{m_{2}}{2}, illetve m_{1} > \frac{m_{2}}{2} . \end{matrix}

Hasonló elgondolással

m_{3}

akkor maradhat nyugalomban, ha

a_{3} = 0

, vagyis (6) szerint

\begin{matrix} 2 m_{1} m_{2} - m_{2} m_{3} - 4 m_{1} m_{3} = 0. \end{matrix}

Adott

m_{3}

tömeg esetén szabadon választott

m_{1}

vagy

m_{2}

mellett:

\begin{matrix} m_{1} = \frac{m_{2} m_{3}}{2 m_{2} - 4 m_{3}}, illetve m_{3} = \frac{2 m_{1} m_{2}}{4 m_{1} + m_{2}} . \end{matrix}

A megoldásnak csak akkor van fizikai értelme, ha

\begin{matrix} m_{3} < \frac{m_{2}}{2} . \end{matrix}

D. Tóth Balázs (Debrecen, KLTE Gyak. g. III. o. t.) dolgozata alapján