Kezdőlap


Feladat:	612. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bucsy Péter , Grosz Tamás , Jakab Mihály , Lábadi Albert , Treer Ferenc
Füzet:	1967/január, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/május: 612. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Képzeljük el a kúpot megnyúlás előtt, és szeleteljük fel alapjával párhuzamos síkokkal $n$ darab egyenlő magasságú csonkakúpra, ahol $n$ igen nagy természetes szám. Legyen egy csonkakúp magassága $Δ l$ , tehát

\begin{matrix} l = n \cdot Δ l . \end{matrix}

(1)

Mivel

Δ l

igen kicsi, egy csonkakúpot hengernek tekinthetünk, másrészt megnyúlását vizsgálva saját súlyának hatásától eltekinthetünk. Világos, hogy mindkét közelítés annál pontosabb, minél nagyobb

n

Rátérve a megnyúlt kúp vizsgálatára, a kúp teljes megnyúlása a kis hengerek megnyúlásának összege. A

k

-adik henger megnyúlása Hooke törvénye szerint

\begin{matrix} Δ λ_{k} = \frac{P_{k} Δ l}{E F_{k}}, \end{matrix}

(2)

ahol

P_{k}

k

-adik hengerre ható húzóerő,

F_{k}

pedig a

k

-adik henger alapterülete.

P_{k}

-t az adatok ismeretében könnyen kiszámíthatjuk: ez az első

k - 1

hengerből álló kúp súlya lesz, azaz

\begin{matrix} P_{k} = \frac{1}{3} ϱ g F_{k} (k - 1) Δ l . \end{matrix}

(3)

(3)-at (2)-be helyettesítve

\begin{matrix} Δ λ_{k} = \frac{ϱ g (k - 1) {(Δ l)}^{2}}{3 E} . \end{matrix}

(4)

A teljes megnyúlás (4) felhasználásával

\begin{matrix} λ = \sum_{k = 1}^{n} Δ λ_{k} = \frac{ϱ g {(Δ l)}^{2}}{3 E} \sum_{k = 1}^{n} (k - 1) = \frac{ϱ g {(Δ l)}^{2}}{3 E} \cdot \frac{(n - 1) n}{2}, \end{matrix}

(5)

ahol felhasználtuk a számtani sor összegképletét.
Mivel

n

igen nagy, azért mellette az

1

elhanyagolható, és így (5) második tényezője

n^{2} / 2

-vel helyettesíthető. (1) szerint viszont

n = l / Δ l

. E két tényt felhasználva (5) így alakul

\begin{matrix} λ = \frac{ϱ g {(Δ l)}^{2}}{3 E} \cdot \frac{l^{2}}{2 {(Δ l)}^{2}} = \frac{ϱ \cdot g l^{2}}{6 E} . \end{matrix}

Grósz Tamás (Bp., Ságvári E. g. II. o. t.)

II. megoldás. Ez a megoldás többet alapít a szemléletre, viszont kevesebb számolással adja az eredményt. Helyessége ismert analógiák alapján (pl. egyenletesen gyorsuló mozgás átlagsebessége) belátható.
Hooke törvénye olyan alakban is megfogalmazható, hogy a relatív megnyúlás arányos a feszültséggel

\begin{matrix} \frac{Δ λ}{Δ l} = \frac{1}{E} \cdot σ . \end{matrix}

Itt

Δ l

jelent a test egy bizonyos pontja közelében egy kis vonaldarabot, amely a feszítőerővel párhuzamos,

Δ λ

pedig a megnyúlása, végül

σ

a rugalmas feszültség.
Határozzuk meg, mekkora a kúp csúcsától mért

h

magasságban (amely magasságot a megnyúlás előtt mérjük) a feszültség! A feszítőerő a

h

magasságú,

F

alapterületű kúp súlya:

\begin{matrix} P = \frac{1}{3} ϱ g F h, ezért a feszültség σ = \frac{P}{F} = \frac{1}{3} ϱ g h, \end{matrix}

tehát

h

-val egyenesen arányos. Szemléletesen világos, hogy feladatunk szempontjából számolhatunk az átlagos

\begin{matrix} \bar{σ} = \frac{1}{6} ϱ g l feszültséggel . \end{matrix}

E feszültség pedig

l

szakaszon

λ = \frac{\bar{σ} l}{E} = \frac{ϱ g l^{2}}{6 E}

megnyúlást hoz létre.

Lábadi Albert (Bp., Vörösmarty M. g. IV. o. t.)

Megjegyzés. 1. A végeredményben nem szerepel a

p

alapterület, ezért annak megadása felesleges volt.
2. Az I. megoldásban hasonló módon ki lehet mutatni, hogy bármely olyan forgástestre, amelynek sugara a csúcstól mért

h

magasság hatványfüggvénye:

r = a \cdot h^{n}

, igaz, hogy a megnyúlás

\begin{matrix} λ = \frac{G l}{2 E q} \end{matrix}

alakú, ahol az eddig használt jelöléseken kívül

G

-vel jelöltük a test súlyát. Speciálisan az

n = 0

a henger, az

n = 1

pedig a kúp esete.

Treer Ferenc (Bp., Piarista g. IV. o. t.)