A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A megadott húzóerő ellen a súlyerő lejtőirányú összetevője és a súrlódási erő hat. A mozgásegyenlet tehát
A számadatokat beírva () A kúp a hasábbal együtt gyorsulással mozog, ezért a rá ható tehetetlenségi erő a mozgással ellentétes irányban A kúp egyensúlyi helyzete attól függ, hogy a tehetetlenségi és a súlyerő eredője a kúp alaplapján áthalad-e vagy sem. A két erő adott, tehát az eredő iránya meghatározott. Az egyensúlyi helyzet így csak a kúp magasságvonalában levő súlypont (és tömegközéppont) helyzetétől függ. A kúp súlya adott, ezért térfogata, illetve magassága a fajsúlyától függ: A súlypont a kúp magasságvonalának alsó negyedében van (bizonyítás a megjegyzésben), ezért a súlypont helyzete és a fajsúly között egyértelmű és fordítottan arányos összefüggés van. Nyilvánvaló, hogy csak a labilis egyensúlyi helyzetet kell meghatároznunk, amely trigonometriai megfontolások alapján adódik.
1. ábra Egyszerűbb az egyensúlyi viszonyok meghatározása, ha a kúp legalsó () pontjára felírjuk az erők forgatónyomatékát (1. 1. ábra). A súlyerőt felbontva a lejtővel párhuzamosan hat , a lejtőre merőlegesen . A megfelelő erőkarok , ill. . Így | |
Ha , az egyensúly stabil, ha , a kúp ledől. Az határesetben az egyensúly labilis. Az előbbiek szerint ekkor a magasság és a fajsúly . Ha a fajsúly ennél az értéknél nagyobb, a súlypont alacsonyabbra kerül (az alaplaphoz viszonyítva), ekkor a kúp helyzete stabil, ha a fajsúly kisebb, akkor a kúp ledől.
Kótai Endre (Bp., Apáczai Cs. J. g. II. o. t.)
Takács László (Sopron; Széchenyi I. g. II. o. t.)
2. ábra Megjegyzés. A homogén forgáskúp súlypontjának meghatározása: Helyezzük el a kúpot úgy, hogy magasságvonala vízszintes legyen. Osszuk a magasságvonalra merőleges síkokkal egyenlő vastagságú részre (1. 2. ábra). Ha elég nagy, akkor az osztás során létrejött csonkakúpok helyettesíthetők ugyanolyan magas hengerekkel, amelyek sugara az alapkörök sugarával egyezik meg. Az egyes hengerek magassága . Írjuk fel a súlyerők forgatónyomatékát a kúp csúcsára vonatkoztatva. A súlypontban ható eredő súly forgatónyomatéka egyenlő lesz a felosztott kúprészek forgatónyomatékainak összegével. A számozást a csúcsból kezdve az henger alapjának távolsága a csúcsból és sugara . Így forgatónyomatéka | | Ezeket a forgatónyomatékokat az összes -re összegezve kapjuk az eredőt. | | ahol a súlypont távolsága a csúcsból. Az állandókat kiemelve és egyszerűsítve Belátható, hogy az első köbszám összege | | ezt az előbbi kifejezésbe írva Ha -et egyre növeljük, a hengerek egyre jobban közelítik a kúpot, a kifejezésben pedig összeadandó elhanyagolható lesz mellett, így mondhatjuk, hogy nagy esetén , amint azt bizonyítani kívántuk.
Takács László (Sopron, Széchenyi I. g. II. o. t.)
|
|