Feladat:	605. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Rácz Miklós
Füzet:	1966/december, 234. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Kepler I. törvénye, Kepler II. törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/április: 605. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A területi sebesség ($T$) Kepler II. törvénye szerint a pálya mentén mindenütt ugyanannyi (lásd az ábrát). Az ellipszis fél nagytengelye $a$, fél kistengelye $b$, excentricitása $c$. Napközelben a fókusztól való távolság $a-c$, naptávolban $a+c$. A területi sebességek napközelben $T=\frac{v_1\left(a-c\right)}{2}$, naptávolban $T=\frac{v_2\left(a+c\right)}{2}$, a kistengely végpontjában pedig $T=\frac{v_{0}b}{2}$ , mert a kistengely végpontjában rajzolt $v_0$ sebesség-vektornyíl $b$ merőleges távolságban van a fókusztól. Kifejezve a három sebességet, $v_1=2T/\left(a-c\right)\mathrm{,}{v}_2=2T/\left(a+c\right)$ és $v_0=2T/b$. Kiszámítjuk $v_1$ és $v_2$ mértani középértékét: $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1{v}_2=\sqrt[]{\frac{4T^2}{\left(a-c\right)\left(a+c\right)}}=\frac{2T}{\sqrt[]{a^2-c^2}}=\frac{2T}{b}\mathrm{,}}\end{array}$ ez pedig $v_0$, a kistengely végpontjában levő sebesség. Ezzel az állítás be van bizonyítva.   Rácz Miklós (Veszprém, Vegyipari technikum IV. o. t.)   Megjegyzés. Mint mértani érdekesség, könnyen belátható, hogy az ellipszisben $a-c$ napközel-távolság és $a+c$ naptávol-távolság mértani középértéke $b$ fél kistengely. Az említett két távolság számtant középértéke a fél nagytengely (ez szerepel a III. Kepler-törvényben), harmonikus középértéke pedig $b^2/a$, az ellipszis úgynevezett paramétere (az ellipszis fókuszához tartozó ordináta, illetve az ellipszis hegyes csúcsához tartozó görbületi sugár).