Kezdőlap


Feladat:	601. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dombi József , Kloknicer Imre , Nagy Zsuzsanna
Füzet:	1966/november, 181 - 182. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Emelő, Erők forgatónyomatéka, Párhuzamos erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/április: 601. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az emelőre a következő forgatónyomatékok hatnak:
a) a megadott $M$ ,
b) az emelő súlypontjában $(l / 2)$ ható súlyerőből származó $M' = l^{2} \cdot γ / 2$ ( $l$ az emelő hossza),
c) az emelő végén ható $P$ erőből származó és $M$ -mel ellentétes irányú $P \cdot l$ .

Egyensúly esetén

\begin{matrix} P \cdot l = l^{2} \cdot γ / 2 + M, \\ P = l \cdot γ / 2 + M / l . \end{matrix}

P

minimális értékét keressük.

I. megoldás.

P

, mint

l

függvénye egy egyenes és egy hiperbola összege. Ehhez teljesen hasonló, csupán az ordináta irányában eltolt az

\begin{matrix} y = l \cdot γ / 2 + M / l - c \end{matrix}

függvény. Válasszuk meg

c

-t úgy, hogy érintse az

l

tengelyt (abszcissza). Az érintési pont lesz a minimum. Ez úgy érhető el, hogy az

y = 0

feltétel mellett kapott

\begin{matrix} l γ / 2 + M / l - c = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} γ \cdot l^{2} - 2 c \cdot l + 2 M = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlet diszkriminánsát nullának vesszük:

\begin{matrix} 4 c^{2} = 8 M γ, c = \sqrt[]{2 M γ} . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} l = \frac{2 c}{2 γ} = \sqrt[]{\frac{2 M}{γ}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} P_{min} = \frac{1}{2} γ \cdot \sqrt[]{\frac{2 M}{γ}} + M / \sqrt[]{\frac{2 M}{γ}} = \sqrt[]{2 M γ} . \end{matrix}

Dombi József (Szeged, Ságvári E. g. III. o. t).

II. megoldás. A

P = l γ / 2 + M / l

kifejezés a következő alakra hozható:

\begin{matrix} P = \sqrt[]{\frac{γ}{2} M} [\sqrt[]{\frac{γ}{2 M}} \cdot l + \frac{1}{\sqrt[]{\frac{γ}{2 M}} \cdot l}] . \end{matrix}

Ez a kifejezés hasonlít az

y = x + \frac{1}{x}

kifejezéshez. Átalakítva

\begin{matrix} x + \frac{1}{x} = \frac{x^{2} + 1}{x} = \frac{(x^{2} - 2 x + 1) + 2 x}{x} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x} + 2 \geq 2. \end{matrix}

A fenti kifejezés zárójelbe foglalt része nagyobb vagy egyenlő, mint kettő. Egyenlőség akkor áll fenn, ha

x

, azaz

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{γ}{2 M}} \cdot l = 1. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} l = \sqrt[]{\frac{2 M}{γ}}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} P_{min} = \sqrt[]{2 M γ} . \end{matrix}

Nagy Zsuzsanna (Kiskunhalas, Szilády Á. g. III. o. t.)

III. megoldás. Ha a

P = l γ / 2 + M / l

összefüggést

l

-re megoldjuk,

\begin{matrix} l = \frac{P \pm \sqrt[]{P^{2} - 2 M γ}}{γ}, \end{matrix}

akkor látható, hogy a valós megoldás feltétele az, hogy a diszkrimináns ne legyen negatív, amiből következik, hogy

P

nem lehet kisebb, mint

\sqrt[]{2 M γ}

\begin{matrix} P_{min} = \sqrt[]{2 M γ}, \\ l = \sqrt[]{\frac{2 M}{γ}} . \end{matrix}

Kloknicer Imre (Bp., Bláthy O. techn. III. o. t.)