Feladat:	600. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Legeza István
Füzet:	1966/november, 180. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/április: 600. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Nézzük meg a $k$-adik rész megnyúlását. Ezt a rúd $k$-adik rész alatti súlya, és mivel a $k$-adik résznek is van súlya, ennek is valamilyen hányada húzza. Mivel a feszültség a rúdban lineárisan változik, számtani közepet, vagyis a $k$-adik rész súlyának a felét vesszük. Ekkor a $k$-adik részt húzó erőre $\left(P_k\right)$ felírhatjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle P_k=\varrho gq\left[\frac{l}{n}\left(n-k\right)+\frac{1}{2}\cdot \frac{l}{n}\right]=\varrho gq\frac{l}{n}\left(n-k+\frac{1}{2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Hooke törvénye értelmében a $k$-adik rész megnyúlása $\begin{array}{c}{\displaystyle {\lambda }_k=\frac{1}{E}\frac{P}{q}=\frac{1}{E}\varrho g\frac{l}{n}\left(n-k+\frac{1}{2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az egész rúd megnyúlása ezen megnyúlások összege: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \lambda ={\lambda }_1+{\lambda }_2+\text{...}+{\lambda }_n=\frac{1}{E}\varrho g\frac{l}{n}\left[\left[n^2-\left(1+2+\text{...}+n\right)\right]+\frac{1}{2}n\right]=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\frac{1}{E}\varrho g\frac{l}{n}\left(n^2-\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{1}{2}n\right)=\frac{1}{E}\frac{\varrho gl}{2}n\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Tehát a relatív megnyúlás: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\lambda }_k}{\lambda }=\frac{2\left(n-k+\frac{1}{2}\right)}{n^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha $n=10$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\lambda }_k}{\lambda }=\frac{21-2k}{100}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezek az adatok táblázatban ${\displaystyle \begin{array}{c}{\displaystyle }\hfill \\ {\displaystyle k}\hfill & \hfill {\displaystyle }& \hfill {\displaystyle 1}& \hfill {\displaystyle 2}& \hfill {\displaystyle 3}& \hfill {\displaystyle 4}& \hfill {\displaystyle 5}& \hfill {\displaystyle 6}& \hfill {\displaystyle 7}& \hfill {\displaystyle 8}& \hfill {\displaystyle 9}& \hfill {\displaystyle 10}\\ {\displaystyle \frac{{\lambda }_k}{\lambda }\left(\%\right)}\hfill & \hfill {\displaystyle }& \hfill {\displaystyle 19}& \hfill {\displaystyle 17}& \hfill {\displaystyle 15}& \hfill {\displaystyle 13}& \hfill {\displaystyle 11}& \hfill {\displaystyle 9}& \hfill {\displaystyle 7}& \hfill {\displaystyle 5}& \hfill {\displaystyle 3}& \hfill {\displaystyle 1}\end{array}}$ Legeza István (Kecskemét, Piarista g. III. o. t.)