Kezdőlap


Feladat:	587. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Herényi István
Füzet:	1966/október, 92 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/február: 587. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A legalsó helyzetben az elektromos erő és a súly egyenlő:

\begin{matrix} \frac{k Q_{1} Q_{2}}{4 r^{2}} = m g = K . \end{matrix}

α

szöggel jellemzett helyzetben az elektromos vonzóerő (1. ábra):

\begin{matrix} P_{e} = \frac{k Q_{1} Q_{2}}{4 r^{2} cos^{2} \frac{α}{2}} = \frac{K}{cos^{2} \frac{α}{2}} . \end{matrix}

Ennek tangenciális összetevője:

\begin{matrix} P_{et} = P_{e} \cdot sin \frac{α}{2} = \frac{K sin \frac{α}{2}}{cos^{2} \frac{α}{2}}, \end{matrix}

radiális összetevője:

\begin{matrix} P_{er} = P_{e} \cdot cos \frac{α}{2} = \frac{K}{cos \frac{α}{2}} . \end{matrix}

1. ábra

A súly tangenciális összetevője

\begin{matrix} m g sin α = K sin α, \end{matrix}

radiális összetevője

\begin{matrix} m g cos α = K cos α . \end{matrix}

A (lefelé pozitívnak adódó) teljes tangenciális erő:

\begin{matrix} P_{t} = K sin α - \frac{K sin \frac{α}{2}}{cos^{2} \frac{α}{2}} = K \cdot [sin α - \frac{sin \frac{α}{2}}{cos^{2} \frac{α}{2}}] . \end{matrix}

A (kifelé pozitívnak adódó) teljes radiális erő:

\begin{matrix} P_{r} = K cos α - \frac{K}{cos \frac{α}{2}} = K \cdot [cos α - \frac{1}{cos \frac{α}{2}}] . \end{matrix}

Az egyensúlyi helyzetben

P_{t} = 0

, innen

\begin{matrix} \frac{sin \frac{α}{2}}{cos^{2} \frac{α}{2}} = sin α = 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}, \end{matrix}

vagyis:

\begin{matrix} cos \frac{α}{2} = \sqrt[3]{0, 5} = 0, 794, \frac{α}{2} = 37^{\circ} 24', α = 74^{\circ} 48' . \end{matrix}

Meg kell vizsgálni

P_{t}

és

P_{r}

α

-tól való függését. Ami

P_{r}

radiális erőt illeti, mivel

cos α

kisebb 1-nél,

1 / cos \frac{α}{2}

nagyobb 1-nél, a radiális erő mindig negatív, vagyis amint a golyócskát kimozdítjuk alsó helyzetéből, rögtön felrepül. Tehát csak a nagy gömb külső felületén próbálkozhatunk.

2. ábra

A 2. ábra tünteti fel a teljes tangenciális erő

α

-tól való függését (

K = 1

). Amint látható, az

α = 74^{\circ} 48'

-hez tartozó egyensúlyi helyzet labilis, hiszen

α

-t növelve felfelé,

α

-t csökkentve lefelé ható erőt kapunk. Így ez az egyensúlyi helyzet labilis. Viszont az

α = 0

-hoz tartozó egyensúlyi helyzet stabilis, mert kimozdításkor lefelé ható tangenciális erő keletkezik, amely a golyócskát visszaviszi.
Tehát ha a bodzabélgolyócskát a gömb külső felületén alsó helyzetéből kimozdítjuk, akkor az oda visszatér. De ha a bodzabélgolyót

α = 74^{\circ} 48'

fölé visszük, akkor felszalad a gömb tetején levő pozitív töltéshez.

Herényi István (Budapest, I. István Gimn., IV. o. t.)