Kezdőlap


Feladat:	584. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Halász Pál
Füzet:	1966/október, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Közlekedőedény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/február: 584. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az egyik folyadék (higany) fajsúlya $γ_{1}$ , középponti szöge $α_{1}$ , a másik folyadék (víz) fajsúlya $γ_{2}$ , középponti szöge $α_{2}$ . A két folyadék közös határfelületéhez vezető rádiusz alkosson a függőlegessel $α$ szöget (1. ábra), ez az $α$ legyen a meghatározandó ismeretlen mennyiség.

1. ábra

A kétfolyadékos közlekedő edény törvénye szerint egyensúly esetén a találkozási felületen a nyomások egyenlők, illetve az innen mért függőleges magasságkülönbségek fordítva arányosak a fajsúlyokkal:

\begin{matrix} γ_{1} [R cos α - R cos (α_{1} - α)] = γ_{2} [R cos α - R cos (α_{2} + α)] . \end{matrix}

Beszorozva,

cos α

-val végigosztva és rendezve:

\begin{matrix} tg α = \frac{\frac{γ_{1}}{γ_{2}} (1 - cos α_{1}) - (1 - cos α_{2})}{sin α_{2} + \frac{γ_{1}}{γ_{2}} sin α_{1}} . \end{matrix}

A mi esetünkben

γ_{1} = 13, 6 {p/cm}^{3}

α_{1} = 120^{\circ}

γ_{2} = 1 {p/cm}^{3}

α_{2} = 90^{\circ}

, ezek alapján

tg α = 1, 518

és

α = 56^{\circ} 37'

.
Mi lesz, ha még több vizet töltünk bele?

α

lassan csökken és a víz felső vége közeledik a cső tetejéhez. Azután, hogy ezt elérte, a feladat határozatlanná válik, mert a víz egy része átlóg balfelé. Ha a vízoszlop két részre szakad szét, akkor a feladat határozatlan. De keskeny csőben könnyen megtörténik, hogy a vízoszlop átlóg és egyben marad. Ilyen esetben folytathatjuk a számítást.
Annak a feltétele, hogy a vízoszlop elérje a cső tetejét:

α_{2} + α = 180^{\circ}

. Behelyettesítve kiindulási egyenletünkbe ezt a feltételt,

α

-ra ez az egyenlet adódik:

\begin{matrix} [{(\frac{γ_{1}}{γ_{2}})}^{2} sin^{2} α_{1} + a^{2}] sin^{2} α + 2 \frac{γ_{1}}{γ_{2}} sin α_{1} sin α + (1 - a^{2}) 0, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} a = \frac{γ_{1}}{γ_{2}} (1 - cos α_{1}) - 1. \end{matrix}

A mi esetünkben az egyenlet megoldása

α = 56^{\circ} 13'

és

α_{2} = 123^{\circ} 47'

. Feladatunk második kérdésében

α_{2} = 150^{\circ}

, tehát a vízoszlop feltétlenül átlóg. Megoldóképletünkbe

α_{2} = 150^{\circ}

-ot helyettesítve

tg α = 1, 509

és

α = 56^{\circ} 28'

, ami egy kicsit több, mint amikor a víz éppen eléri a cső tetejét. Ez természetes, hiszen a vízoszlop nyomása átlógáskor csökken (2. ábra).

2. ábra

Halász Pál (Szolnok, Verseghy g. III. o. t.)

Megjegyzés. Több dolgozat szerzője nem tudta, hogy a folyadékok egyensúlyánál a nyomás a döntő és ez a függőleges magasságkülönbségtől függ, vagy nem voltak képesek ezt trigonometriailag kifejezni. Természetes, hogy az egyensúly stabilis. Érdekes megvizsgálni, hogyan függ

α

a beöntött víz mennyiségétől, vagyis

α_{2}

-től, ha a többi adat változatlan marad. Ekkor megoldóképletünk alapján

\begin{matrix} tg α = \frac{19, 4 + cos α_{2}}{11, 78 + sin α_{2}} . \end{matrix}

3. ábra

Ennek az összefüggésnek a grafikonját mutatja a 3. ábra. Víz nélkül és tele vízzel a higany egyaránt

α = 60^{\circ}

-nál találkozik a vízzel. A találkozási higanyfelszín minimuma

α_{2} = 123^{\circ} 47'

-nél van, amikor a vízoszlop eléri a kör tetejét.

Vermes Miklós