Kezdőlap


Feladat:	579. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Ágota
Füzet:	1966/szeptember, 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyűjtőlencse, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1966/január: 579. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy bizonyos tárgypont koordinátái (l. ábra) $A - r cos α$ és $r sin α$ . Elég csak a tengelyen átmenő egyik síkban elvégezni a számítást. A képpont koordinátái $x$ , $y$ .

Hasonló háromszögekből:

\begin{matrix} \frac{y}{x} = \frac{r sin α}{A - r cos α}, \end{matrix}

a lencsetörvényből:

\begin{matrix} \frac{1}{A - r cos α} + \frac{1}{x} = \frac{1}{f} . \end{matrix}

E két egyenletből kiküszöbölve

α

-t kapjuk a kép függvényét:

\begin{matrix} {(\frac{x f}{x - f} - A)}^{2} + {(\frac{y f}{x - f})}^{2} = r^{2} . \end{matrix}

Átrendezve:

\begin{matrix} \frac{{[x - \frac{f (A^{2} - A f - r^{2})}{{(A - f)}^{2} - r^{2}}]}^{2}}{{[\frac{r f^{2}}{{(A - f)}^{2} - r^{2}}]}^{2}} + \frac{y^{2}}{{[\frac{r f}{\sqrt[]{{(A - f)}^{2} - r^{2}}}]}^{2}} = 1. \end{matrix}

E függvényből látszik, hogy a kép olyan ellipszis, amelynek az optikai tengelyben fekvő fél nagytengelye:

\begin{matrix} a = \frac{r f^{2}}{{(A - f)}^{2} - r^{2}} . \end{matrix}

Az optikai tengelyre merőleges fél kistengelye:

\begin{matrix} b = \frac{r f}{\sqrt[]{{(A - f)}^{2} - r^{2}}}, \end{matrix}

középpontjának távolsága a lencsétől pedig:

\begin{matrix} p = \frac{f (A^{2} - A f - r^{2})}{{(A - f)}^{2} - r^{2}} . \end{matrix}

Számadataink felhasználásával:

a = 75 / 16 cm = 4, 6875 cm

b = 15 / 4 cm = 3, 75 cm

p = 205 / 16 cm = 12, 8125 cm

. Az egész kép egy forgási ellipszoid, amely akkor keletkezik, ha ezt az ellipszist a tengely körül forgatjuk.

Balogh Ágota (Kiskunhalas, Szilády g. IV. o. t.)

Megjegyzések. Több megoldó rámutatott arra, hogy csak a gömb egy részéről jön létre a valóságban kép. Érdekes kérdés volna a kép fényeloszlásának vizsgálata, valamint annak megállapítása, milyen másodrendű felületek (hiperboloidok) keletkeznek, ha a világító gömb részben vagy egészen a fókuszon belülre nyúlik.