Feladat:	565. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Haber Róbert
Füzet:	1966/május, 228 - 229. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Gördülés vízszintes felületen, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/december: 565. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Kis tömegnél $A$-ban a fonálerő (1. ábra) $m\left(g-a\right)$, ez részben gyorsítja, részben forgatja a hengert. A forgatóerő $P=mg-ma-Ma$. A szöggyorsulás $\beta =\frac{a}{r}=\frac{\left(mg-ma-Ma\right)r}{I}$. Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{m}{m+M+I/r^2}g\mathrm{.}}\end{array}$ (1)     1. ábra   Ha $m$ nagy, $a$ olyan nagy lesz, hogy a henger megcsúszik. Vegyünk fel $O$-ban egymással ellentétesen $\mu Mg$ súrlódási erővel egyenlő erőket. Így a henger gyorsítására marad $m\left(g-a\right)-\mu Mg$, ettől a gyorsulás $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\frac{m-\mu M}{m+M}\mathrm{g<mspace\; width="0.5ex"><mtext\; fontweight="normal"\; fontstyle="normal">lesz.\; </mtext></mspace>}}\end{array}$ (2) Az erőpár forgatónyomatéka $\mu Mgr$, a szöggyorsulás $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta =\frac{a_r}{r}=\frac{\mu Mrg}{I}\mathrm{.}}\end{array}$ A henger kerületi pontjainak gyorsulása tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle a_r=\frac{\mu Mg{r}^2}{I}\mathrm{.}}\end{array}$ (3) A haladó gyorsulásra kapott két képlet akkor vált át, ha (1) és (2) egyenlő. Innen a kritikus tömeg: $\begin{array}{c}{\displaystyle m_k=\mu M\frac{I/r^2+M}{I/r^2-\mu M}=112\mathrm{,}5\text{g. }}\end{array}$     2. ábra   A feladat diszkusszióját a 2. ábra tartalmazza, ebben $a$ függését látjuk $m$-től. A folytonos vonal $0$-tól $K$-ig (1) szerint fut, majd (2) szerint megy tovább. A szaggatott vonal a tengelyforgáshoz tartozó gyorsulást mutatja. $K$, azaz $m_k$ fölött gördülés és csúszás van. Ha $\mu$ más értékű lesz, $K$ vándorol az (1) görbén, pl. $\mu =0\mathrm{,}05$-nél a (2) görbe $K\text{'}$-től indul ki. Érdekes, hogy ha $\mu$ nagyobb $\frac{I}{M{r}^2}$-nél, akkor a $K$ pont kimegy a végtelenbe, és bármilyen $m$ tömegnél sima legördülés van. Ekkor, és ennél nagyobb $\mu$-nél csak (1) szerint megy végbe a mozgás.    Haber Róbert (Budapest, Táncsics M. g., III. o. t.)