Kezdőlap


Feladat:	557. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Josepovits Gy. , Kugler S. , Legeza I. , Rácz M. , Steiner György , Szeidl Lászó , Tóth-Pál Sándor , Treer F. , Tüttő P.
Füzet:	1966/április, 183 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb körmozgás, Energiamegmaradás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/november: 557. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az inga tömegének helyzetét az $α$ szög határozza meg. Az $m$ tömegre hat $m g$ súlyerő, amelyet helyettesíthetünk $m g sin α$ és $m g cos α$ összetevőivel. Azonkívül az $m$ tömeget a középpont felé húzza a fonál $P_{l}$ erővel. A fonál ereje egyenlő az $m v^{2} / l$ nagyságú centripetális erő és $m g cos α$ nagyságának összegével. $l$ a fonál hosszát, $v$ pedig a sebességet jelenti, amely így számítható: $v = \sqrt[]{2 g h} = \sqrt[]{2 g l cos α}$ (1. ábra). A súly kifelé ható $m g cos α$ összetevője és a $P_{l}$ fonálerő ellentétesen ható $m g cos α$ része kiegyenlíti egymást; marad az $m$ tömegre ható érintőleges $m g sin α$ erő és a középpont felé húzó $m v^{2} / l = 2 g m cos α$ . Ezek eredője a teljes $P$ erő. Az erőket osztva a tömeggel kapjuk a gyorsulást. Az eredő gyorsulás függőlegesen lefelé mutató összetevője:

\begin{matrix} a_{f} & = g sin α sin α - 2 g cos α cos α = \\ = g (sin^{2} α - 2 cos^{2} α) = g (1 - 3 cos^{2} α), & (1) \end{matrix}

az eredő gyorsulás vízszintesen balra mutató összetevője:

\begin{matrix} a_{v} = g sin α cos α + 2 g cos α sin α = 3 g sin α cos α . \end{matrix}

(2)

1. ábra

Az általunk keresett fonálhelyzetet úgy találjuk meg, hogy az (1) szerinti függőleges összetevőt

0

-val tesszük egyenlővé:

\begin{matrix} g (1 - 3 cos^{2} α) = 0. \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} cos α = \frac{1}{\sqrt[]{3}}, α = 54, 7^{\circ} . \end{matrix}

E gyorsulás nagysága (2)-ből

g \sqrt[]{2}

Tóth-Pál Sándor (Bp., Hámán K. g. III. o. t.)

Megjegyzések. A feladatra beküldött sok hibás megoldás azt mutatja, hogy sokan nincsenek tisztában a gyorsulás szerepével görbevonalú mozgás esetében. Az eredeti meghatározás szerint a gyorsulást úgy kapjuk meg, hogy a sebességnek mint vektornak az ,,

1

másodpercre jutó megváltozását'' keressük. Az inga pályája mentén a sebesség mindig az érintő mentén mutat és mindig növekszik, változásából megkaphatnánk a gyorsulást. Könnyebb úgy eljárni, hogy a ható erőt osztjuk a tömeggel. De a ható erő a tömegre kívülről ható erők eredőjét jelenti. Itt sokan abban hibáztak, hogy a fonálban csak a centripetális erőt tételezték fel, mint ható erőt. Ha körpályán állandó nagyságú sebességgel mozog egy tömeg, akkor a gyorsulás merőleges az érintőre, a középpont felé mutat. Ha a sebesség nagysága is változik, akkor a gyorsulásnak érintőmenti összetevője is van és az egész gyorsulás az érintőmenti és merőlegesen befelé mutató gyorsulásösszetevő eredője. Tehát görbevonalú mozgás esetében a gyorsulás mindig a pálya homorú oldala felé irányul. Így van ez most is. Amikor az inga tömegét elengedjük a vízszintes helyzetből, egy pillanatig szabadesést végez és gyorsulása

g

, függőlegesen lefelé irányítva. A pálya legalsó részén a sebesség egy pillanatig állandó, a gyorsulás ekkor merőleges a pályára, függőlegesen felfelé mutat. Belátható, hogy e két helyzet között kell egy olyannak lennie, amikor a gyorsulás vízszintes.

2. ábra

Tanulságos, ha tanulmányozzuk a gyorsulás alakulását végig az inga pályája mentén (2. ábra). A gyorsulás teljes nagyságát (1)-ből és (2)-ből kapjuk meg:

\begin{matrix} a = \sqrt[]{a_{f}^{2} + a_{v}^{2}} = g \sqrt[]{{(1 - 3 cos^{2} α)}^{2} + 9 sin^{2} α cos^{2} α} = \\ = g \sqrt[]{4 - 3 sin^{2} α} . \end{matrix}

Az eredő gyorsulás vízszintessel alkotott, lefelé mutató

ε

szögét (1) és (2) osztásával kapjuk:

\begin{matrix} tg ε = \frac{a_{f}}{a_{v}} = \frac{1 - 3 cos^{2} α}{2 sin α cos α} . \end{matrix}

A 2. ábra nyilai az eszerint számított gyorsulásokat tüntetik fel. A szaggatott nyilak a sebességeket mutatják.
Ha az ingát nem

90^{\circ}

-os, hanem valamilyen

α_{0}

helyzetből indítjuk el, akkor így módosul a sebesség kifejezése:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{2 g l (cos α - cos α_{0})}, \end{matrix}

ennek felhasználásával a vízszintes gyorsulás helyzetét megadó szögre:

\begin{matrix} cos α = \frac{cos α_{0} + \sqrt[]{3 + cos^{2} α_{0}}}{3} . \end{matrix}