Kezdőlap


Feladat:	555. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kugler Sándor
Füzet:	1966/március, 138 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Lineáris hőtágulás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/november: 555. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a rúd hossza $l_{0}$ . Egy szalag keresztmetszete $q$ , ekkor a vas keresztmetszete $2 q$ .

Ha felmelegítjük a rendszert

t

fokkal, akkor mind a három szalag megnyúlik:

\begin{matrix} l_{t Fe} = l_{0} (1 + α_{Fe} t), \\ l_{t Cu} = l_{0} (1 + α_{Cu} t) . \end{matrix}

Mivel a réz hőtágulási együtthatója nagyobb, mint a vasé, ezért a réz hosszabbra nyúlna meg, ha nem lenne összeszegecselve. Tehát a szegecs a rezet összenyomja, a vasat megnyújtja. Newton törvénye szerint ebben az esetben a nyújtó erő egyenlő az összenyomó erővel.
A rugalmas megnyúlás törvénye

λ = \frac{1}{E} \frac{P}{q} l

,
ill.

P = \frac{λ E q}{l}

alapján esetünkben

P = \frac{x E_{Fe} 2 q}{l_{0} (1 + α_{Fe} t)} = \frac{y E_{Cu} q}{l_{0} (1 + α_{Cu} t)}

ahol

x

jelenti a vas megnyúlását,

y

pedig a réz összehúzódását. A hőtágulásból:

\begin{matrix} x + y & = l_{0} (1 + α_{Cu} t) - l_{0} (1 + α_{Fe} t) = l_{0} (α_{Cu} - α_{Fe}) t, \\ y & = l_{0} t (α_{Cu} - α_{Fe}) - x . \end{matrix}

Ezt behelyettesítve és

x

-re rendezve:

\begin{matrix} x [\frac{2 E_{Fe}}{1 + α_{Fe} t} + \frac{E_{Cu} t}{1 + α_{Cu} t}] = \frac{l_{0} t (α_{Cu} - α_{Fe}) E_{Cu}}{1 + α_{Cu} t} . \end{matrix}

A feszültség a vasban:

\begin{matrix} \frac{P}{q} = \frac{x E_{Fe}}{l_{0} (1 + α_{Fe} t)} = \frac{E_{Cu} E_{F e} (α_{Cu} - α_{Fe}) t}{2 E_{Fe} (1 + α_{Cu} t) + E_{Cu} (1 + α_{Fe} t)} . \end{matrix}

Behelyettesítve az adatokat:

\begin{matrix} \frac{P}{q} = 3, 2 \cdot 10^{3} \frac{kp}{{cm}^{2}} . \end{matrix}

A rezet nem

P

, hanem

2 P

erő nyomja össze, mert mind a két oldalról nyomja össze a vas.
Tehát a feszültség a rézben:

6, 4 \cdot 10^{3} {kp/cm}^{2}

Kugler Sándor (Bp., I. István g. II. o. t.)

Megjegyzés. A feladatban elhanyagoltuk, hogy a hőtágulási együtthatók

0 C^{\circ}

-ra vonatkoznak, és hogy a már megnyúlt anyagot kell összenyomni. Az elhanyagolás jogos, mert csak csekély mértékben változtatja meg az eredményt. Ebben az esetben (az adatokat elég pontosaknak feltételezve), a feszültségek

3191, 7 {kp/cm}^{2}

-nek, ill.

6383, 4 {kp/cm}^{2}

-nek adódnak.