Feladat:	551. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajna Zsolt ,  Csernó János ,  Herényi István ,  Lohner Tivadar ,  Máté József ,  Pénzes Béla ,  Szendi Gábor
Füzet:	1966/február, 95 - 96. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb Ohm-törvény, Egyéb kondenzátor, Időben egyenletesen változó áram, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/október: 551. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Alapállapotban a $C$ kondenzátor $U_0=\frac{R}{r+R}E=200\text{V}$ feszültségre van feltöltve. Amikor a lövedék elszakítja az első szalagot, akkor az $R$ ellenálláson keresztül megindul a $C$ kondenzátorban felhalmozott $Q_0=U_{0}C$ töltés kisülése. Ekkor a rendszer úgy tekinthető, mintha a kondenzátor helyén egy időben változó feszültségű telep lenne. Kezdetben a feszültség $U_0$, de az áram következtében csökken a kondenzátorban levő töltés, ezért csökken a feszültség is. Mivel a két szalag közti repülési idő rendkívül kicsi, ezért feltehetjük, hogy a kondenzátor feszültsége időben egyenletesen (lineárisan) változik, ekkor pedig a feszültség átlagértékével számolhatunk, vagyis feltehetjük, hogy eközben $I=\frac{U_0+U\text{'}}{2R}$ kisütő áram folyik. Ez $t$ idő alatt $\Delta Q=It$ töltést szállít el a kondenzátorból. Mivel a végállapotban $Q\text{'}=U\text{'}C$ töltés marad a kondenzátorban, ezért $\Delta Q=Q_0-Q\text{'}$ alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{Q_0-Q\text{'}}{I}=RC\frac{2\left(U_0-U\text{'}\right)}{U_0+U\text{'}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből a lövedék sebessége: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle v=\frac{l}{t}=\frac{l\left(U_0+U\text{'}\right)}{2\left(U_0-U\text{'}\right)RC}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\frac{2\text{cm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⋅</mo></math>390 }\text{V}}{2\cdot 10\text{V <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⋅</mo></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup></mrow></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>Ω</mi></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⋅</mo></math>2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⋅</mo></math><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">-</mo><mn>7</mn></mrow></msup></mrow></math>F}}=19500\text{cm/<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>sec</mo></math>=195 }\text{m/ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>sec</mo></math>. }}\hfill \end{array}}$  Máté József (Bp., Corvin Mátyás Elektronikus Szakközépisk. IV. o. t.)   Megjegyzés. Ha tudjuk azt, hogy a $t=0$ pillanatban $U_0$ feszültségen levő $C$ kondenzátor az $R$ ellenálláson úgy sül ki, hogy feszültsége az idő függvényében $U=U_0{e}^{-t/RC}$ (ahol $e$ a természetes logaritmus alapszáma), akkor a sebességet elvileg pontosan is kiszámíthatjuk, ugyanis a két szalag közti repülési időt az $U\text{'}=U_0{e}^{-t/RC}$ egyenletből pontosan meghatározhatjuk. Mindkét oldal logaritmusát véve és rendezve: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=RC\frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">lg</span>}{U}_0-\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">lg </span>}U\text{'}}{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">lg </span>}e}\mathrm{,}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ebből</span>}v=\frac{l\cdot \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">lg </span>}e}{RC\left(\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">lg </span>}{U}_0-\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">lg </span>}U\text{'}\right)}=194\mathrm{,}9\text{m/<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>sec</mo></math>,}}\end{array}$ ahol az utolsó jegy már kerekített. Ez is mutatja a közelítés pontosságát, hisz a táblázat használata miatt fellépő pontatlanság következtében az ,,egzakt'' érték a hibahatáron belül megegyezik a közelítő értékkel.   Bajna Zsolt (Esztergom, Bottyán J. Gépip. Techn. IV. o. t.)