Feladat:	540. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Márkus András ,  Treer Ferenc
Füzet:	1966/február, 87 - 88. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Csigasor, Energiamegmaradás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/szeptember: 540. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A fordulatszámokra vonatkozó kérdésre $m$ tömeg mozgásának részletesebb ismerete nélkül, pusztán geometriai alapon válaszolhatunk. $m$ tömeg süllyedésekor az I. mozgócsigának fel kell emelkednie, mert a fonálhossz adott, állandó érték. Ha az I. mozgócsiga középpontja $AB=s$ darabbal emelkedik (l. az ábrát), akkor a $10\text{cm}$ rádiuszú I. mozgócsiga $s/10$ radiánban mért szöggel fordul el, mert a felemelkedés végeztével az I. csiga $C$ pontja érintkezik a fonál $B$ pontjával. Az elfordulás megtörténtével az $s$ hosszúságú fonáldarab az I. csigát tartó mindkét fonálból hiányzik, tehát a II. állócsigán $2s$ hosszúságú fonál vonul el és $2s/10$ radiánban mért szögelfordulást okoz. A III. mozgócsigát tartó fonál jobb oldali része $ED=s$ darabbal emelkedett, ugyanekkor a III. csigát tartó bal oldali fonál $FG=2s$ darabbal süllyedt, tehát a III. csigát tartó fonalak együttvéve $2s-s=s$ darabbal lettek hosszabbak, így a két fonálon lógó III. mozgó csiga középpontja $s/2$ távolsággal jutott mélyebbre. Ezalatt a III. csiga $H$ pontja eljutott $K$-ba, vagyis a középponthoz viszonyítva a kerületi pontok $s+s/2=3s/2$ darabbal fordultak el, és a III. csiga elfordulási szöge $3s/\left(2\cdot 15\right)=s/10$ radián. Az elfordulási szögek arányosak a fordulatszámokkal, így az I., II. és III. csigák fordulatszámainak aránya: $\begin{array}{c}{\displaystyle 1:2:1.}\end{array}$ Az $m$ tömeg mozgásának tanulmányozásakor vegyük figyelembe, hogy helyzeti energiája mozgási energiává lesz. De az elhanyagolható tömegű csigák sem magasságuk változtatásával, sem forgásukkal nem tudnak mozgási energiát felvenni, a mozgási energia csakis $m$ tömeg sebességét fokozhatja. Ebből következik, hogy $m$ tömeg $g$ gyorsulással szabadesést végez. Geometriai okokból következik, hogy az I. mozgócsiga $2g$ gyorsulással mozog függőlegesen felfelé.    Márkus András (Sopron, Széchenyi g. III. o. t.)   Megjegyzések. A feladat megoldható volna abban az esetben is, ha figyelembe vennénk a csigák tömegeit; ekkor természetesen $m$ tömeg $g$-nél kisebb gyorsulással mozog lefelé. Ha az energiatétel helyett fonálerőkkel számolunk, az eredmény ugyanaz: az $L$-ben tapasztalható fonálerőnek a $D$-pontbeli fonálerő felének kellene lennie, de másrészt $L$-ben, $G$-ben és $D$-ben egyenlő fonálerőknek kellene lenniük. Ez az ellentmondás csak akkor oldódik fel, ha valamennyi fonálerő nulla, és valóban így van, ha az $m$ tömeg szabadon esik. A feladat csak a csigák csapágysúrlódását kívánja elhanyagolhatónak venni, a kerület menti súrlódásnak meg kell maradnia, ha azt akarjuk, hogy a csigák forogjanak. Helyesen jegyzi meg Treer Ferenc (Bp. Piarista Gimnázium), hogy hiába van meg a csigák kerületének súrlódó képessége, ha nincs fonálerő, mégsem forognak. Az a helyzet, hogy a csigák közül a mozgócsigák magassága változik ugyan, de egyik csiga sem forog. Minden fizikai feladatban szokott lenni valamilyen közelítés. A jelen esetben a csigák tömegeit csökkentve hamarabb válik elhanyagolhatóvá az általuk felvett mozgási energia, mint a kerületük mentén mutatkozó súrlódás (ezt könnyen elvégezhető kísérlet is mutatja), így nem kell elvetnünk azt a feleletet, amely $1:2:1$ fordulatszámarányt ad válaszul.