Feladat:	536. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dobozy Ottó
Füzet:	1966/január, 46. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Összetartó erők eredője, Geometriai szerkesztések alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/szeptember: 536. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.       Oldjuk meg a feladatot általánosan. Tegyük fel, hogy a $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$ erők az $x$-tengellyel rendre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ szöget zárnak be. Ekkor az erők $x$, illetve $y$ irányú összetevőit összeadva ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle P_{\text{I}}}& {\displaystyle =P_1\text{cos}\alpha +P_2\text{cos}\beta +P_3\text{cos}\gamma +P_4\text{cos}\delta \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle P_{\text{II}}}& {\displaystyle =P_1\text{sin}\alpha +P_2\text{sin}\beta +P_3\text{sin}\gamma +P_4\text{sin}\delta \mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Így a $P_{\text{E}}$ eredőre a $\text{cos}{}^2\alpha +\text{sin}{}^2\alpha =1$ azonosság alapján összevonva kapjuk, hogy ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle P_{\text{E}}^2=P_{\text{I}}^2+P_{\text{II}}^2=P_1^2+P_2^2+P_3^2+P_4^2+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +2[P_1{P}_2\left(\text{cos}\alpha \text{cos}\beta +\text{sin}\alpha \text{sin}\beta \right)+P_1{P}_3\left(\text{cos}\alpha \text{cos}\gamma +\text{sin}\alpha \text{sin}\gamma \right)+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +P_1{P}_4\left(\text{cos}\alpha \text{cos}\delta +\text{sin}\alpha \text{sin}\delta \right)+P_2{P}_3\left(\text{cos}\beta \text{cos}\gamma +\text{sin}\beta \text{sin}\gamma \right)+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +P_2{P}_4\left(\text{cos}\beta \text{cos}\delta +\text{sin}\beta \text{sin}\delta \right)+P_3{P}_4\left(\text{cos}\gamma \text{cos}\delta +\text{sin}\gamma \text{sin}\delta \right)]=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =P_1^2+P_2^2+P_3^2+P_4^2+2(P_1{P}_2\text{cos}{\alpha }_{12}+P_1{P}_3\text{cos}{\alpha }_{13}+P_1{P}_4\text{cos}{\alpha }_{14}+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +P_2{P}_3\text{cos}{\alpha }_{23}+P_2{P}_4\text{cos}{\alpha }_{24}+P_3{P}_4\text{cos}{\alpha }_{34})\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ahol pl. ${\alpha }_{12}$ a $P_1$ és $P_2$ erők szögét jelöli, ugyanis $\text{cos}\alpha \text{cos}\beta +\text{sin}\alpha \text{sin}\beta =\text{cos}\left(\alpha -\beta \right)=\text{cos}{\alpha }_{12}$. Hasonló összefüggést nyerhetünk $n$ számú erő eredőjére.   A számadatok felhasználásával ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle P_1\approx \sqrt[]{97\mathrm{,}{8}^2+71\mathrm{,}{1}^2}\text{kp}\approx \sqrt[]{14620}\text{kp}\approx }\hfill \\ \hfill {\displaystyle \approx 120\mathrm{,}9\text{kp}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$  Dobozy Ottó (Budapest, Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., II. o. t.)  dolgozata alapján