Kezdőlap


Feladat:	534. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Erdélyi Katalin , Gnädig Péter
Füzet:	1966/január, 44 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/május: 534. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyensúly feltétele, hogy a két Coulomb‐féle erő eredője normális irányú legyen (ne legyen érintő irányú összetevője). Ez triviálisan bekövetkezik az $A$ és $C$ pontokban, a nagytengely végein. Van azonban az ellipszis ívén még további egyensúlyi helyzet is, a $B$ és $D$ pontokban. Minthogy az ellipszis normálisa felezi a vezérsugarak szögét, az erőparalelogramma rombusz lesz, így az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} P_{1} = P_{2}, k \frac{Q_{1} Q}{r_{1}^{2}} = k \frac{Q_{2} Q}{r_{2}^{2}}, \end{matrix}

innen

\frac{r_{1}}{r_{2}} = \sqrt[]{\frac{Q_{1}}{Q_{2}}} = 2

. Minthogy

r_{1} + r_{2} = 20

cm,

r_{1} = 40 / 3

cm, és

r_{2} = 20 / 3 cm

Ha ki akarjuk számítani

B

és

D

koordinátáit, egyenletrendszert írunk fel:

\begin{matrix} y^{2} = r_{2}^{2} - x_{0}^{2}, y^{2} = r_{1}^{2} - {(16 - x_{0})}^{2}, \end{matrix}

innen

\begin{matrix} x_{0} = 3, 83, y = \pm 5, 45; \end{matrix}

így

\begin{matrix} B (4, 17; \end{matrix}

Vizsgáljuk meg az egyensúlyi helyzet stabilitását. Ha a

Q

töltés

B

-ből

A

felé mozdul ki, akkor

r_{1}

csökken,

r_{2}

nő és így

P_{1} > P_{2}

, ezért eredőjük a normálishoz képest jobbra hajlik, az érintő menti összetevő visszaviszi a töltést

B

-be. Ugyanez történik, ha a töltés

C

felé mozdul ki. Tehát a

B

és

D

pont egyensúlya stabilis. Az

A

és

C

pont egyensúlya labilis, mert innen kimozdítva az erők nem viszik vissza, hanem távolítják a töltést.

Erdélyi Katalin (Győr, Zrínyi I. g. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Az egyensúly helyzetét megkaphatjuk az energia és a potenciál alapján is. Számítsuk ki az

U = k \frac{Q_{1}}{r_{1}} + k \frac{Q_{2}}{r_{2}}

kifejezést és függőlegesen mérjük fel az ellipszis pontjaiban. Így egy felületet kapunk. Ennek szélsőérték helyein lesz egyensúly.

B

és

D

pontban van minimum, itt stabil,

A

és

C

pontban maximum, itt instabil egyensúlyt kapunk.

Gnädig Péter (Bp., Táncsics M. g. IV. o. t.)

2. Ha a

Q_{1} / Q_{2}

tört értéke 4-nél nagyobb, a

B

pont helye

C

felé tolódik. Minthogy

\sqrt[]{Q_{1} / Q_{2}} = r_{1} / r_{2}

és a jobboldal maximuma

(a + c) / (a - c) = 9

Q_{1} / Q_{2}

maximális értéke 81 lehet. Ebben az esetben csak

C

-ben kapunk stabilis egyensúlyt. Ha

Q_{1} / Q_{2} > 81

, nem kapunk stabil egyensúlyt.