Feladat:	532. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gnädig Péter ,  Mészáros Ildikó
Füzet:	1966/január, 40 - 43. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Tömegpont egyensúlya, Egyenletes mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Tapadó súrlódás, Centrifugális erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/május: 532. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. megoldás. Vizsgálatunkhoz a rendszerrel együtt forgó koordinátarendszert választjuk. Súrlódásmentes esetben a kényszererőn kívül a tolósúlyra két erő hat: súly és a centrifugális erő. Egyensúly akkor van, ha ezen erők rúdirányú vetületeinek összege 0, hiszen a kényszererő a rúdra mindig merőleges. Pozitívnak választva a kifelé mutató irányt: $\begin{array}{c}{\displaystyle mr{\omega }^2\text{cos}\alpha -mg\text{sin}\alpha =\mathrm{0,}\text{és innen}r=\frac{g}{{\omega }^2}\text{tg}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$ (1) Világos, hogy nagyobb $r$-nél csak a centrifugális erő nő meg, és ez $r$-et tovább igyekszik növelni. Ezért az egyensúly labilis. Mivel $r>0$, ezért egyensúly csak akkor lehet, ha $\alpha >0$, tehát a rúd nem lehet vízszintes, és nem is mutathat lefelé. (Az $r\le 0$ eset fizikailag értelmetlen, az $\omega =0$ pedig a közönséges lejtőt jelenti, így ezekkel nem foglalkozunk.)     1. ábra     2. ábra   A súrlódásos esetben az egyensúly feltétele az, hogy a centrifugális és a súlyerő rúdirányú komponenseinek összege abszolút értékben ne legyen nagyobb a maximális súrlódási erőnél. A maximális súrlódási erőt úgy kapjuk meg, hogy a centrifugális és a súlyerő rúdra merőleges komponensei összegének abszolút értékét szorozzuk a $\mu$ súrlódási együtthatóval. (Azért az abszolút értékét, mert a rúd egyik oldalát pozitívnak választva, a nyomóerők összege negatív is lehet. Pl. az 1. ábrán látható esetben pozitív $\alpha$-nál ugyan mindig pozitív a nyomóerő, de negatív $\alpha$-nál ‐ ha a centrifugális erő elég nagy ‐ már negatívvá válhat (l. a 2. ábrát!). Márpedig a negatív nyomóerő által előidézett súrlódási erő is ugyanolyan, mint a pozitív által előidézett, hiszen az irányát nem a kiváltó nyomóerő iránya, hanem a megakadályozandó mozgás iránya szabja, meg.) Ezek figyelembe vételével az egyensúly szükséges és elegendő feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle |r{\omega }^2\text{cos}\alpha -g\text{sin}\alpha |\le \mu |g\text{cos}\alpha +r{\omega }^2\text{sin}\alpha |\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $-{90}^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ }$ és $\omega \ne 0$, azért oszthatunk a határozottan pozitív ${\omega }^2\text{cos}\alpha$-val: Két esetet kell megkülönböztetnünk:   A) $\alpha \ge 0$. Ekkor a jobboldali abszolút érték jelben álló kifejezése pozitív, ezért az abszolút érték jele elhagyható. A bal oldali abszolút értéket kettős egyenlőtlenséggel helyettesítjük: Az első egyenlőtlenséget átrendezve kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle r\left(1+\mu \text{tg}\alpha \right)\ge \left(\text{tg}\alpha -\mu \right)g/{\omega }^2\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $\mu$ is, $\text{tg}\alpha$ is pozitív, azért $1+\mu \text{tg}\alpha$ annál inkább, és így az egyenlőtlenséget oszthatjuk vele: $\begin{array}{c}{\displaystyle r\ge \frac{g}{{\omega }^2}\frac{\text{tg}\alpha -\mu }{1+\mu \text{tg}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ A másik egyenlőtlenséggel nem járhatunk el úgy, csak akkor, ha $\mu <\text{ctg}\alpha$, mert itt ($1-\mu \text{tg}\alpha$)-val kell osztani. Ebben az esetben tehát az egyensúly feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{g}{{\omega }^2}\cdot \frac{\text{tg}\alpha -\mu }{1+\mu \text{tg}\alpha }\le r\le \frac{g}{{\omega }^2}\cdot \frac{\text{tg}\alpha +\mu }{1-\mu \text{tg}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ (2 a‐b) Ha $\mu >\text{ctg}\alpha$, akkor a második egyenlőtlenség semmitmondóvá válik. Ekkor ugyanis a negatív ($1-\mu \text{tg}\alpha$)-val osztva megfordul az egyenlőtlenség: $\begin{array}{c}{\displaystyle r\ge \frac{g}{{\omega }^2}\cdot \frac{\text{tg}\alpha +\mu }{1-\mu \text{tg}\alpha }\mathrm{,}}\end{array}$ ami nyilván mindig teljesül, lévén a bal oldal pozitív, a jobb oldal pedig negatív. A $\mu >\text{tg}\alpha$ esetben tehát nincs felső korlát $r$-re. B) $\alpha >0$. Most a bal oldali abszolút érték hagyható el, az így kapott egyenlőtlenséget most is szétbonthatjuk két egyenlőtlenségre, most azonban nem kell mindkettőnek teljesülnie, az egyensúlyhoz elég, ha az egyik teljesül. Az első: $\begin{array}{c}{\displaystyle r\left(1-\mu \text{tg}\alpha \right)\le \left(\text{tg}\alpha +\mu \right)g/{\omega }^2\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel most $\text{tg}\alpha <0$, azért $1-\mu \text{tg}\alpha$ pozitív, és így oszthatunk vele. Az egyensúlynak tehát elégséges feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle r\le \frac{g}{{\omega }^2}\frac{\text{tg}\alpha +\mu }{1-\mu \text{tg}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ (3 a) A második: $\begin{array}{c}{\displaystyle r\left(1+\mu \text{tg}\alpha \right)\le \left(\text{tg}\alpha -\mu \right)g/{\omega }^2\mathrm{.}}\end{array}$ Itt további két eset lehetséges. Ha $\mu <-\text{ctg}\alpha$, akkor kielégíthetetlen egyenlőtlenséget kapunk, lévén bal oldala pozitív, jobb oldalának számlálója negatív, nevezője pozitív: $\begin{array}{c}{\displaystyle r\le \frac{g}{{\omega }^2}\cdot \frac{\text{tg}\alpha -\mu }{1+\mu \text{tg}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ Amennyiben azonban $\mu >-\text{ctg}\alpha$, az egyenlőtlenség megfordul, és az egyensúly egy további elégséges feltételét szolgáltatja: $\begin{array}{c}{\displaystyle r\ge \frac{g}{{\omega }^2}\frac{\text{tg}\alpha -\mu }{1+\mu \text{tg}\alpha }\mathrm{.}}\end{array}$ (3 b) Az egyensúlyi viszonyok igen szemléletesen ábrázolhatók (3. ábra). Az ábrán a nyilak azt jelölik, hogy a súly a nem‐egyensúlyi helyzetéből merre mozdul e1. A diagramon $r$-et $g/{\omega }^2$ egységekben ábrázoltuk!     3. ábra    Gnädig Péter (Bp., Táncsics M. g. IV. o. t.)  dolgozata alapján   II. megoldás. A fenti eredményeknek igen szemléletes jelentés adható. Jelöljük ui. $\mu$-t $\text{tg}\phi$-vel. (Ismeretes, hogy $\phi$ a súrlódási határszög.) Ekkor az egyenlőtlenségekben mindenütt $\text{tg}\left(\alpha +\phi \right)$, ill. $\text{tg}\left(\alpha -\phi \right)$ lép fel. Ennek fizikai oka a következő. A forgó rendszerből nem tudjuk megkülönböztetni a gravitációs és a centrifugális erőt. Ezért függőleges iránynak a két erő eredőjének irányát érezzük. Az így meghatározott vízszintes iránnyal maximálisan $\phi$ szöget zárhat be a rúd ‐ a súrlódási határszög definíciója szerint ‐ anélkül, hogy a súly elmozdulna. Ha azonban nem $\alpha$-t, hanem $r$-et változtatjuk, akkor ezzel együtt változik a helyi vízszintes is. Ezt nyilván (1) írja le, $r$-et tehát addig változtathatjuk, amíg ezáltal a helyi vízszintes nem tér el $\phi$-nél nagyobb szöggel a rúdtól. Ezek után a diszkusszió már könnyen elvégezhető, és megkapjuk a (2) és (3) feltételi egyenlőtlenségeket.   Mészáros Ildikó (Veszprém, Lovassy L. g. IV. o. t.)