Feladat: 530. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Lábadi Albert ,  Pátkai Péter ,  Szalay Sándor 
Füzet: 1965/december, 238 - 239. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Fizikai inga, Ingamozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1965/május: 530. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kérdésre a választ a fizikai inga lengésidejének képlete adja meg: T=2πImgd. Itt d a súlypont távolsága a tengelytől, I a tehetetlenségi nyomaték, m a tömeg. Figyelembe kell venni, miként változtatja a víz távozása a súlyponttávolságot és a tehetetlenségi nyomatékot.

 
 
1. ábra
 

O középpont körül lengő ingánk teljes hossza L, ebből az edény hossza h és megfigyelésünk pillanatában a kezdetben teljesen tele edényből már kifolyt x hosszúságban a folyadék (1. ábra). 1 cm hosszú folyadékréteg tömege s. Egyszerűség kedvéért legyen az edény tömege elhanyagolhatóan kicsiny a folyadékéhoz képest. Az 1. ábra által jellemzett helyzetben, amint azt hosszadalmas számítással meg lehet mutatni, a tehetetlenségi nyomaték:
I=sL[L(h-x)-(h-x)2+(h-x)33L],(1)a súlyponttávolság:d=L-h-x2és a tömeg:(2)m=s(h-x).(3)


Ezeket behelyettesítve az inga lengésidőképletébe:
T=2πL-(h-x)+(h-x)23Lg(1-h-x2L).(4)

Ebből kell leolvasni, hogy T miként változik, miközben x 0-tól h-ig növekszik. A fizikai inga lengésidőképletében egyaránt szerepel a tömeg, a tehetetlenségi nyomaték és a súlyponttávolság, tehát pontos választ csak úgy adhatunk, ha mindhármat figyelembe vesszük.
 
 
2. ábra
 

Feltételezve, hogy például L=100 cm, h=20 cm és s=1 g/cm, akkor T változására a 2. ábra folytonos vonalát kapjuk. Az x=h értékhez tartozó lengésidő konvergál az L hosszúságú fonálinga lengésidejéhez. Számítás nélkül, röviden annyit lehet mondani, hogy a fizika inga lengésidejét növeli, ha a tömegek közelebb kerülnek a tengelyhez, ennek megfelelően telt edény esetében nagyobb a lengésidő és kicsurgáskor a lengésidő folyamatosan csökken. A (4) függvény matematikai vizsgálata azt mutatja, hogy szélső érték várható x=h-3L és x=h-L értékeknél. Ezeknek csak akkor volna értelmük, ha az edény hosszú volna és a tengely fölé is felnyúlna.
Ezután foglalkozzunk azzal a bonyolultabb esettel, hogy az edény tömege nem elhanyagolható. Az edény M tömegének a súlypontja legyen λ távolságnyira a tengelytől. Mint rövidítő jelölést bevezetjük: M/s=μ. Most képleteink így egészülnek ki:
I=sL[L(h-x)-(h-x)2+(h-x)23L+μλL],(1)d=(h-x)(L-h-x2)+μλμ+(h-x),(2)m=s[(h-x)+μ],(3)T=2πL-(h-x)+(h-x)23L+μλ2L(h-x)g(1-h-x2L+μλL(h-x)).(4)

A lengésidőnek a mennyiségektől való függését nagyon nehéz áttekinteni. Megmaradva az L=100 cm, h=20 cm, c=1 g/cm adatok mellett, hozzávéve az edény részéről λ=90 cm súlyponttávolságot és M=20 gramm edénytömeget (μ=20 cm), a lengésidőnek x-től való függését a 2. ábra szaggatott vonala tünteti fel; ezen igen gyengén kialakuló maximum figyelhető meg x=12 cm-nél. Ha hosszú fonálon viszonylag kis edény lóg, akkor fel vagyunk jogosítva a következő kijelentésre: a szerkezet közelítően fonálinga, ennek tömege az edény és víz együttes tömegéből tevődik össze, és távolsága egyenlőnek vehető az edény és víz közös súlypontjának távolságával. Ezért a lengésidő eleinte nő, mert az inga hosszabbodik, majd ismét csökken, mert az üres edény esetében a fonálhossz megint rövidebb lesz. A pontos (4) szerinti függvény szélső értékének vizsgálata magasabbfokú egyenletre vezet.
Részben a következők dolgozatai alapján:
 
Pátkai Péter (Bp., Kandó K. techn. II. o. t.)
Lábadi Albert (Bp., Vörösmarty g. III. o. t.)
Szalay Sándor (Bp., Debrecen, Kossuth g. II. o. t.)