Kezdőlap


Feladat:	523. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babai László , Herényi I. , Kertész M. , Kugler S. , Lábadi Albert , Szász A. , Vicsek T.
Füzet:	1965/november, 179 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hidrosztatikai nyomás, Felhajtóerő, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/április: 523. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a folyadék be tudna hatolni a test alá, akkor a feladatot Archimedesz törvényével oldanánk meg. A testre a súlya és a kiszorított folyadék súlyával egyenlő nagyságú erő hatna. A feladatban nem jut folyadék a test és a tál közé, tehát a felhajtóerő kevesebb azzal az erővel, amelyet a körmetszetre ható hidrosztatikai nyomás fejt ki. Ezeknek ismeretében kiszámítjuk a testre ható erőket.

Legyen az edényben a folyadék magassága

x

, a folyadék fajsúlya

γ_{f}

, a test fajsúlya

γ

, és a gömb sugara

r

. Pythagoras tétele alapján a két körmetszet sugarának négyzete:

\begin{matrix} ϱ_{1}^{2} = \frac{3}{4} r^{2} ϱ_{2}^{2} = \frac{3}{4} r^{2} + r x - x^{2} . \end{matrix}

A test (gömbszelet) térfogata:

\begin{matrix} V = \frac{π {(\frac{3}{2} r)}^{2}}{3} (3 r - \frac{3}{2} r) = \frac{9}{8} r^{3} π, \end{matrix}

a test súlya

\frac{9}{8} r^{3} π γ

.

A kiszorított víz térfogata (gömbréteg):

\begin{matrix} \frac{1}{6} π x (3 ϱ_{1}^{2} + 3 ϱ_{2}^{2} + x^{2}) = π x (\frac{3}{4} r^{2} + \frac{1}{2} r x - \frac{1}{3} x^{2}) . \end{matrix}

Az a felhajtóerő, mely akkor hatna a testre, ha víz lenne alatta:

\begin{matrix} π x (\frac{3}{4} r^{2} + \frac{1}{2} r x - \frac{1}{3} x^{2}) γ_{f} . \end{matrix}

Az az erő, melyet a felhajtóerőből le kell vonni, mivel nincs víz a test és az edény feneke között (hidrosztatikai nyomás szorozva a felülettel):

\begin{matrix} ϱ_{1}^{2} π x γ_{f} = \frac{3}{4} r^{2} x π γ_{f} . \end{matrix}

A testre ható erők eredője a feladat szerint

0

, tehát:

\begin{matrix} \frac{9}{8} r^{2} π γ - [π x (\frac{3}{4} r^{2} + \frac{1}{2} r x - \frac{1}{3} x^{2}) γ_{f} - \frac{3}{4} r^{2} x π γ_{f}] = 0, \end{matrix}

rendezve

\begin{matrix} 8 γ_{f} x^{3} - 12 γ_{f} r x^{2} + 27 γ r^{3} = 0, \\ 8 {(\frac{x}{r})}^{3} - 12 {(\frac{x}{r})}^{2} + 27 \frac{γ}{γ_{f}} = 0. \end{matrix}

Ez a harmadfokú egyenlet határozza meg az

x

folyadékmagasságot akkor, amikor a testre ható erők eredője

0

. Ha ismerjük a

γ / γ_{f}

számértékét, akkor grafikus módszerrel meghatározhatjuk az

(\frac{x}{r})

-et, és ebből

r

ismeretében

x

-et.

Lábadi Albert (Bp., Vörösmarty M. gimn. III. o. t.)

Megjegyzés. Meg lehet mutatni, hogy a testre ható erők eredője csak akkor lehet

0

, ha

γ < \frac{4}{27} γ_{f}