Kezdőlap


Feladat:	517. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gál Tibor , Nagy Attila
Füzet:	1965/november, 175 - 177. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellenállásmérés, Egyenáramú műszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/március: 517. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A viszonylagos (relatív) hiba annak mértéke, hogy az észlelés milyen pontosságú. Definiálhatjuk a relatív hibát mint a helyes és kapott eredmények hányadosának $1$ -től való eltérést ( $a .$ meghatározás), de definiálhatjuk úgyis, mint az észlelés hibájának a helyes értékkel alkotott hányadosát ( $b .$ meghatározás). Amennyiben az észlelés nem nagyon pontatlan, mindkét meghatározás ugyanazt adja, illetve a két meghatározás ugyanahhoz az értékhez konvergál, ha az észlelés mindig pontosabb lesz. Ezért nem lényeges, hogy melyik meghatározás szerint járunk el. Induljunk ki az $a .$ szerintiből.
Az I. eljárás szerint $U$ mért feszültség helyes, de az áramerősségben a fogyasztó $U / R$ áramerőssége mellett benn van a voltmérő $U / R_{V}$ áramerőssége is. Tehát számításunk a következő eredményt adja:

\begin{matrix} R_{I} = \frac{U}{\frac{U}{R} + \frac{U}{R_{V}}} = R \cdot \frac{R_{V}}{R + R_{V}} . \end{matrix}

Ez a mérés a helyesnél

R_{V} / (R + R_{V})

arányban kisebb eredményt ad.

A II. eljárás szerint

I

mért áramerősség helyes, de a mért feszültségben a fogyasztó

I R

feszültségesése mellett benn van az ampermérőre jutó

I R_{A}

feszültségesés is. Tehát számításunk a következő eredményt adja:

\begin{matrix} R_{II} = \frac{I R + I R_{A}}{I} = R (1 + \frac{R_{A}}{R}) . \end{matrix}

Ez a mérés a helyesnél

1 + R_{A} / R

arányban nagyobb eredményt ad.
A mérés pontosságának megítélésekor lényegtelen, hogy a hiba pozitív vagy negatív, ezért az I. és II. eljárás eredményeit akkor tekintjük egyenlő pontosaknak, ha a pontos értéktől való eltérésük ugyanolyan mértékű. Az I. eljárás mindig túl kicsiny, a II. eljárás mindig túl nagy eredményt ad. A relatív hibák akkor egyenlők, ha az I. eljárás pontatlanságát kifejező

R_{V} / (R + R_{V})

tényező reciprok értéke és a II. eljárás pontatlanságát mérő

1 + \frac{R_{A}}{R}

tényezők egyenlőek:

\begin{matrix} \frac{R + R_{V}}{R_{V}} = 1 + \frac{R_{A}}{R} . \end{matrix}

Ennek átalakításából következik, hogy:

\begin{matrix} R = \sqrt[]{R_{A} R_{V}} . \end{matrix}

A relatív hibák akkor egyenlők, ha a fogyasztó mérendő ellenállása a műszerek ellenállásának mértani középértéke.
Ha a relatív hiba

b .

szerinti meghatározásából indulunk ki, akkor (természetesen a hibák abszolút értékével számolva) egyenlővé téve a mért és a helyes értékek különbségének a helyes értékhez viszonyított hányadosait:

\begin{matrix} \frac{R - R \cdot \frac{R_{v}}{R + R_{V}}}{R} = \frac{R (1 + \frac{R_{A}}{R}) - R}{R} . \end{matrix}

Rendezés után:

\begin{matrix} R^{2} - R_{A} (R + R_{V}) = 0. \end{matrix}

Ha észlelésünk csak valamelyest is pontos, akkor a fogyasztó

R

ellenállásának elhanyagolhatónak kell lennie a voltmérő

R_{V}

ellenállása mellett, tehát:

\begin{matrix} R^{2} - R_{A} R_{V} = 0, \end{matrix}

amiből az

a .

meghatározásból származó mértani középarányos következik.

Gál Tibor (Bp., Villamosipari technikum III. o. t.) és
Nagy Attila (Bp., József A. g. IV. o. t.)
dolgozatai alapján.