Kezdőlap


Feladat:	512. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babai László
Füzet:	1965/november, 172 - 173. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/március: 512. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzük el a rendszert egy koordináta-rendszerben, amelynek $z$ tengelye lefelé mutat. Legyen az $m_{1}$ , $m_{2}$ , $m_{3}$ test gyorsulása $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , és a mozgócsigán átvetett kötélben $K_{1}$ , az állócsigán átvetett kötélben $K_{2}$ erő hasson. Írjuk fel erre a rendszerre a mozgásegyenleteket:

\begin{matrix} m_{1} a_{1} & = m_{1} g - K_{1} & (1) \\ m_{2} a_{2} & = m_{2} g - K_{1} & (2) \\ m_{3} a_{3} & = m_{3} g - K_{2} . & (3) \end{matrix}

Felírom a mozgásegyenletet a mozgócsigára is (

a

a mozgócsiga gyorsulása,

m

a tömege):

\begin{matrix} m a = 2 K_{1} - K_{2} + m g . \end{matrix}

Mivel a csiga súlytalan

(m = 0)

\begin{matrix} 0 = 2 K_{1} - K_{2} . \end{matrix}

(4)

A tömegek elmozdulása legyen

s_{1}

s_{2}

s_{3}

, akkor a kényszerfeltételből következik, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{2} (s_{1} + s_{2}) + s_{3} = 0. \end{matrix}

A gyorsulásokkal kifejezve:

\begin{matrix} \frac{1}{2} (\frac{a_{1}}{2} t^{2} + \frac{a_{2}}{2} t^{2}) + \frac{a_{3}}{2} t^{2} = 0, \\ \frac{1}{2} (a_{1} + a_{2}) + a_{3} = 0. & (5) \end{matrix}

Ebből az ötismeretlenes (

a_{1}

a_{2}

a_{3}

K_{1}

K_{2}

) lineáris egyenletrendszerből

(1 - 5)

a_{1}

a_{2}

és

a_{3}

-at kifejezve:

\begin{matrix} a_{1} & = \frac{4 m_{1} m_{2} + m_{1} m_{3} - 3 m_{2} m_{3}}{4 m_{1} m_{2} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{3}} g, \\ a_{2} & = \frac{4 m_{1} m_{2} + m_{2} m_{3} - 3 m_{1} m_{3}}{4 m_{1} m_{2} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{3}} g, \\ a_{3} & = \frac{4 m_{1} m_{2} - m_{1} m_{3} - m_{2} m_{3}}{4 m_{1} m_{2} + m_{1} m_{3} + m_{2} m_{3}} g . \end{matrix}

Behelyettesítve a tömegek számértékét (

m_{1} = 1

kg,

m_{2} = 2

kg,

m_{3} = 3

kg):

\begin{matrix} a_{1} = - \frac{7}{17} g, a_{2} = \frac{5}{17} g, a_{3} = \frac{1}{17} g \end{matrix}

(ahol

g

a nehézségi gyorsulás). Ha

g

-t

981 = {cms}^{- 2}

-nek vesszük:

\begin{matrix} a_{1} = - 404 {cms}^{- 2}, a_{2} = 289 {cms}^{- 2}, a_{3} = 58 {cms}^{- 2} . \end{matrix}

A negatív gyorsulás azt jelenti, hogy az

m

tömeg a

z

tengely irányításával ellenkezőleg, tehát felfelé mozog.

Babai László (Bp., Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)