Feladat:	507. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babai László
Füzet:	1965/október, 92 - 94. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Gömbtükör, Optikai leképezés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/február: 507. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. megoldás. Éles kép keletkezésének az a feltétele, hogy az ellenző a sugárnyalábot kis nyílásszögre korlátozza, amint ez a feladat szövegéből is kitűnik. Az első visszaverődés alkalmával, amikor a gömb bal oldali része tükröz (1. ábra), a tárgytávolság $t_1=3f$, és a képalkotás törvénye szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{3f}+\frac{1}{k_1}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen a bal oldali gömbfelülettől mért képtávolság: $\begin{array}{c}{\displaystyle k_1=\frac{3}{2}\cdot f\mathrm{.}}\end{array}$     Az ilyen módon keletkezett kép mint tárgy szerepel a gömb jobb oldali tükröző felülete számára. Az innen mért tárgytávolság $t_2=2\mathrm{,}5f$, és a képalkotás törvénye szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{2\mathrm{,}5f}+\frac{1}{k_2}\mathrm{.}}\end{array}$ Innen a jobb oldali gömbfelülettől mért képtávolság: $\begin{array}{c}{\displaystyle k_2=\frac{5}{3}\cdot f\mathrm{.}}\end{array}$ Ha a lámpa jobbra sugároz, akkor a fókuszban van, a tengellyel párhuzamos sugárnyaláb verődik vissza és a bal oldali fókuszban, a rádiusz felében keletkezik újra kép. Ezután a további képalkotás az előbbi szerint folytatódik.    Babai László (Bp., Fazekas M. g. I. o. t.)   II. megoldás. Szerkesztéssel gyorsan kaphatjuk meg a képpontokat (2. ábra). $O$ középpontból rádiuszt rajzolunk a gömbfelszín tetszés szerinti $A$ pontjába. A fényforrásból $AO$-val párhuzamos fénysugarat rajzolunk, amely a tükröt $A\text{'}$-ben éri el és visszaverődés után $AO$ felezőpontján, $A\text{'}\text{'}$-n megy át. Ennek a fénysugárnak a tengellyel alkotott $K_1$ metszéspontja az első középpont. Az eljárást megismételjük a gömb másik oldalán. A tetszés szerinti irányban rajzolt $OB$ rádiusz felezőpontján, $B\text{'}\text{'}$-n megy át az a fénysugár, amely $OB$-vel párhuzamosan $B\text{'}$-ben érte el a tükröt.   Megjegyzés. A feladatban két egymás utáni képalkotás szerepel. Bebizonyíthatjuk, hogy tovább keresve a keletkezett képek újabb képeit, ezek mindjobban közelednek a gömb középpontjához (3. ábra). Legyen egy tárgytávolság $C{T}_1=2f+d_1=t_1$ (ahol $d_1$ pozitív). Ekkor a $k_1$, képtávolság a leképezési törvény szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle k_1=\frac{t_{1}f}{t_1-f}=\frac{\left(2f+d_1\right)f}{2f+d_1-f}=\frac{\left(2f+d_1\right)f}{f+d_1}\mathrm{.}}\end{array}$ A képpont távolsága a gömb középpontjától $d_2=K_{1}O=2f-k_1=2f-\frac{\left(2f+d_1\right)f}{f+d_1}=d_1\cdot \frac{f}{f+d_1}$.   Látható, hogy $d_2$ kisebb, mint $d_1$.