Feladat:	503. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babai László ,  Berkes Zoltán ,  Palla László
Füzet:	1965/október, 88 - 89. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/február: 503. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     a) Válasszuk az erők, az utak és a gyorsulások irányát jobbra és lefelé. Jelöljük a kötélerőt $P$-vel! Az a feltétel, hogy az összes felületek tökéletesen simák, nyilván úgy értendő, hogy súrlódás nincs. Az ábráról látható, hogy fennállnak az alábbi mozgásegyenletek: $\begin{array}{c}{\displaystyle M_1{a}_1=P{M}_2{a}_2=-P{M}_3{a}_3=M_{3}g-P\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $a_1$, $a_2$, $a_3$ a megfelelő testek gyorsulásait jelentik, pozitívnak tekintve a fenti irányokat. A 411. feladat megoldásához hasonlóan (XXVIII. kötet 5. szám,‐1964. évi 5. szám ‐ 235. old.) most is felírhatjuk a kötél-rövidülések egyenletét, és ebből a gyorsulásokat összekapcsoló negyedik egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle s_1-s_2=s_3\mathrm{,}\text{tehát}{a}_1-a_2=a_3\mathrm{.}}\end{array}$ Most már a négy ismeretlenre ($a_1$, $a_2$, $a_3$, $P$) négy egyenletünk van. Az egyenletrendszert megoldva kapjuk: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle P}& {\displaystyle =\frac{M_1{M}_2{M}_3}{M_1{M}_2+M_2{M}_3+M_1{M}_3}g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_1}& {\displaystyle =\frac{M_2{M}_3}{M_1{M}_2+M_2{M}_3+M_1{M}_3}g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_2}& {\displaystyle =\frac{-M_1{M}_3}{M_1{M}_2+M_2{M}_3+M_1{M}_3}g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_3}& {\displaystyle =\frac{\left(M_1+M_2\right)M_3}{M_1{M}_2+M_2{M}_3+M_1{M}_3}g\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ b) Az ábráról látható, hogy a következők lesznek a mozgásegyenletek: $\begin{array}{c}{\displaystyle M_1{a}_1=2P\mathrm{,}{M}_2{a}_2=-2P\mathrm{,}{M}_3{a}_3=M_{3}g-P\mathrm{.}}\end{array}$ A ,,kötél-egyenlet'' pedig: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2s_1-2s_2=s_3\mathrm{,}\text{tehát}2a_1-2a_2=a_3\mathrm{.}}\end{array}$ A kapott egyenletrendszert megoldva: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle P}& {\displaystyle =\frac{M_1{M}_2{M}_3}{M_1{M}_2+4M_2{M}_3+4M_1{M}_3}g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_1}& {\displaystyle =\frac{2M_2{M}_3}{M_1{M}_2+4M_2{M}_3+4M_1{M}_3}g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_2}& {\displaystyle =\frac{-2M_1{M}_3}{M_1{M}_2+4M_2{M}_3+4M_1{M}_3}g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_3}& {\displaystyle =\frac{4\left(M_1+M_2\right)M_3}{M_1{M}_2+4M_2{M}_3+4M_1{M}_3}g\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ c) Most is leolvasható az ábráról, hogy ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle M_1{a}_1}& {\displaystyle =-P\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle M_2{a}_2}& {\displaystyle =2P\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle M_3{a}_3}& {\displaystyle =M_{3}g-P\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ továbbá, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle 2s_2-s_1=s_3\mathrm{,}\text{és így}2a_2-a_1=a_3\mathrm{.}}\end{array}$ Egyenletrendszerünk megoldása: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle P}& {\displaystyle =\frac{M_1{M}_2{M}_3}{M_1{M}_2+M_2{M}_3+4M_1{M}_3}g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_1}& {\displaystyle =\frac{-M_2{M}_3}{M_1{M}_2+M_2{M}_3+4M_1{M}_3}g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_2}& {\displaystyle =\frac{2M_1{M}_3}{M_1{M}_2+M_2{M}_3+4M_1{M}_3}g\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_3}& {\displaystyle =\frac{\left(4M_1+M_2\right)M_3}{M_1{M}_2+M_2{M}_3+4M_1{M}_3}g\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$  Babai László (Bp., Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)  dolgozata alapján   Megjegyzés. Az a) és a b) rész eredményei ‐ a 411. feladathoz hasonlóan ‐ csak elég hosszú függőleges kötélrész esetén érvényesek.  Babai László