Kezdőlap


Feladat:	499. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mészáros Ildikó
Füzet:	1965/május, 237 - 238. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyűjtőlencse, Optikai leképezés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/január: 499. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábra jelöléseit használva az eredeti oktaéder köbtartalma $2 \cdot (2 a^{2} \cdot a) / 3 = 4 a^{3} / 3$ . A középpont képének képtávolsága: $k = t f / (t - f)$ . A tengelyen fekvő csúcsok képtávolságai pedig: $k_{1} = \frac{(t + a) f}{t + a - f}$ , ill. $k_{2} = \frac{(t - a) f}{t - a - f}$ . $k_{2} - k_{1}$ megadja a kép-oktaéder magasságát.

Most még a kép-oktaéder négyzetes metszetének területére van szükségünk. A középponton áthaladó, tengelyre merőleges síkban a nagyítás:

N = k / t = f (t - f)

, ezért

a

nagyított képe

A = a \frac{f}{t - f}

. Így a kép-oktaéder négyzetes metszetének területe:

2 A^{2} = \frac{2 a^{2} f^{2}}{{(t - f)}^{2}}

. A kép-oktaéder magassága pedig a fentiek szerint:

k_{2} - k_{1} = \frac{(t - a) f}{t - a - f} - \frac{(t + a) f}{t + a - f} = \frac{2 f^{2} a}{{(t - f)}^{2} - a^{2}}

. A kép-oktaéder köbtartalma ‐ mivel két közös alapú gúlából áll ‐ ugyanúgy számítható, mint egy gúláé:

\begin{matrix} \frac{2 A^{2}}{3} (k_{2} - k_{1}) = \frac{4 a^{3} f^{4}}{3} \cdot \frac{1}{{(t - f)}^{4} - a^{2} {(t - f)}^{2}} . \end{matrix}

A köbtartalmakat egyenlővé téve:

\begin{matrix} \frac{4 a^{3}}{3} = \frac{4 a^{3} f^{4}}{3 [{(t - f)}^{4} - a^{2} {(t - f)}^{2}]} . \end{matrix}

Átrendezve;

(t - f)

-re másodfokúra redukálható negyedfokú egyenletet kapunk:

{(t - f)}^{4} - a^{2} {(t - f)}^{2} - f^{4} = 0

, melynek fizikai jelentéssel bíró megoldásából:

\begin{matrix} t = f + \sqrt[]{\frac{a^{2} + \sqrt[]{a^{4} + 4 f^{4}}}{2}} . \end{matrix}

Esetünkben:

t = 11, 98 cm

Mészáros Ildikó (Veszprém, Lovassy L. g. IV. o. t.)

Megjegyzés. Több dolgozat utalt arra, hogy ha a lencsét az oktaéder belsejében helyezzük el, akkor is található olyan tárgytávolság, hogy az oktaéder csúcsainak képei által kifeszített oktaéder térfogata egyenlő legyen az eredeti oktaéder-térfogattal. Ez a test azonban nem tekinthető az oktaéder képének, mert az éppen nem itt van: a végtelenbe nyúlik. Ez világos, ha arra gondolunk, hogy ilyenkor a lencse fókusza is az oktaéder belsejében van, ennek képe pedig a tengely végtelen távoli pontja.