Kezdőlap


Feladat:	498. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babai László , Pátkai Péter
Füzet:	1965/szeptember, 41 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Energiamegmaradás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/január: 498. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha a $v$ sebességű elektronok $r$ távolságban vannak egymástól, akkor a helyzeti energiájuk: $E_{h} = k \frac{e^{2}}{r}$ (ahol $e$ az elemi töltés nagysága). Ehhez hozzáadva a mozgási energiájukat, kapjuk a rendszer összenergiáját:

\begin{matrix} E_{ö} = E_{h} + 1 / 2 m v^{2} + 1 / 2 m v^{2} = k e^{2} / r + m v^{2} . \end{matrix}

Szimmetria miatt, amikor a két elektron legközelebb van egymáshoz, akkor mindkettő sebessége nulla, így a teljes energia potenciális energiává alakul:

k e^{2} / x = k e^{2} / r + m v^{2}

. Ebből

\begin{matrix} x = \frac{k e^{2}}{m v^{2} + k e^{2} / r} . \end{matrix}

Behelyettesítve a példa adatait:

x \approx 19, 984

cm.

Babai László (Bp., Fazekas M. gimn. I. o. t.)

II. megoldás. Mint az előző megoldásból látható, a két elektron egymáshoz való közeledése igen csekély mértékű, ezért feltehető, hogy pályájuk ezen szakaszán az elektromos térerő konstans:

E = k e / r^{2}

. Ezért egy elektronra ható erő:

P = k e^{2} / r^{2} = 5, 75 \cdot 10^{- 21}

N. (Az így nyert távolság csak kisebb lehet a valódinál.)
Az elektronok közelítőleg

a = P / m = - 6, 3 \cdot 10^{10} {m/sec}^{2}

gyorsulással egyenletesen lassuló mozgást végeznek. Az alatt az idő alatt, amíg a sebességük nullára csökken,

s = v^{2} / (2 a) \approx 80 μ

utat tesznek meg. Így összesen

160 μ = 0, 016

cm-rel kerülnek közelebb egymáshoz, a minimális távolságuk

19, 984

cm lesz. Az eredmények ilyen pontos egyezése mutatja a közelítés jogosságát. (Az utolsó jegy mindkét módszer esetén kerekített.)

Pátkai Péter (Bp., Kandó K. techn. II. o. t.)

Megjegyzés. A beküldött dolgozatokban igen sok hiba fordult elő az energiaegyenlet felírásában. Sokan csak az egyik elektron mozgási energiájának a potenciális energiává való átalakulását vették figyelembe, és a

k e^{2} / x = k e^{2} / r + 1 / 2 m v^{2}

egyenletet írták fel. Mások pedig azt a súlyos hibát követték el, hogy a koordinátarendszert az egyik elektronhoz rögzítették és

v_{1} = 0

, valamint

v_{2} = 2 v

kezdeti feltételből kiindulva a

k e^{2} / x = k e^{2} / r + 1 / 2 m {(2 v)}^{2}

egyenletet írták fel, vagyis a kelleténél több mozgási energiát vettek számításba. A hiba oka az, hogy a gyorsuló elektronhoz rögzített rendszer nem inerciarendszer.