Kezdőlap


Feladat:	496. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babai László , Bucsy P. , Gál T. , Kertész Miklós , Sváb Erzsébet , Szász A. , Vicsek T.
Füzet:	1965/május, 234 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rögzített tengely körüli forgás (Merev testek kinematikája), Merev test mozgásegyenletei, Forgási energia, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1965/január: 496. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a hengerek tömege $m$ , sugara $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ . Mivel henger forgástengelyére vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka $I = 1 / 2 m r^{2}$ , így $I_{1} = 1 / 2 m r_{1}^{2}$ , $I_{2} = 1 / 2 m r_{2}^{2}$ és $I_{3} = 1 / 2 m r_{3}^{2}$ . Feltételezzük, hogy a második hengeren csúszás nincs. A kötélerő a kötél függőleges részén legyen $F_{1}$ , vízszintes részén $F_{2}$ . A kötél gyorsulása legyen $a$ , a hengerek szöggyorsulása pedig $β_{2}$ és $β_{3}$ .

Ezek között az adatok között a következő összefüggés áll fenn:

\begin{matrix} r_{2} β_{2} = r_{3} β_{3} = a . \end{matrix}

Felírjuk a mozgásegyenleteket:

\begin{matrix} m g - F_{1} = m a, (F_{1} - F_{2}) r_{2} = I_{2} β_{2}, F_{2} r_{3} = I_{3} β_{3} . \end{matrix}

Behelyettesítjük a tehetetlenségi nyomatékok és a szöggyorsulások kifejezését:

\begin{matrix} (F_{1} - F_{2}) r_{2} = 1 / 2 m r_{2}^{2} \frac{a}{r_{2}}, F_{2} r_{3} = 1 / 2 m r_{3}^{2} \frac{a}{r_{3}}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} m g - F_{1} = m a, F_{1} - F_{2} = 1 / 2 m a, F_{2} = 1 / 2 m a . \end{matrix}

Ebből a fonál gyorsulása

\begin{matrix} m a = m g - 1 / 2 m a - 1 / 2 m a, a = g / 2. \end{matrix}

Ekkor

t = 2

sec múlva a fonál sebessége

\begin{matrix} v = a t = (g / 2) t . \end{matrix}

(1)

Mivel

\begin{matrix} v = ω_{3} r_{3}, \\ ω_{3} = v / r_{3} = g t / (2 r_{3}) = 19, 62 1 / sec . \end{matrix}

Amint

ω_{3}

kifejezésből látjuk,

ω_{3}

csak az

r_{3}

sugártól függ, sem

r_{2}

, sem a tömegek nem befolyásolják, feltéve, hogy a tömegek egyenlőek.

Babai László (Bp., Fazekas M. gyak. gimn. I. o. t.)

II. megoldás. A feladatot az energiatétellel is megoldhatjuk. Ha az 1. test

h

távolsággal kerül lejjebb, akkor

m g h

helyzeti energiája átalakul mozgási energiává:

\begin{matrix} m g h = 1 / 2 m v^{2} + 1 / 2 I_{2} ω_{2}^{2} + 1 / 2 I_{3} ω_{3}^{2} . \end{matrix}

Mivel

h = \frac{a}{2} t^{2} = \frac{(a t)}{2} \cdot t = (v / 2) t

, és a fonál sebessége, valamint a hengerek szögsebessége között

ω_{2} = v / r_{2}

ω_{3} = v / r_{3}

összefüggés áll fenn, ezért

\begin{matrix} m g (v / 2) t = 1 / 2 m v^{2} = 1 / 2 (1 / 2 m r_{2}^{2}) v^{2} / r_{2}^{2} + 1 / 2 (1 / 2 m r_{3}^{2}) v^{2} / r_{3}^{2} . \end{matrix}

Az egyenletet

m v / 2

-vel osztva

\begin{matrix} g t = v + (1 / 2) v + (1 / 2) v, v = g t / 2. \end{matrix}

Ilyen módon ismét az (1) egyenletet kaptuk.

Kertész Miklós (Bp., Eötvös J. gimn. III. o. t.)