Feladat:	489. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Polgár István
Füzet:	1965/április, 191 - 192. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Váltóáramú ellenállás (impedancia), Soros RLC-kör, Egyéb váltóáramú áramkörök, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/december: 489. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     1. $50\text{ Hz}$-es áramnál, ha a kapcsoló nyitva van, az $R$ és $\omega L$ ellenállások vektoriálisan összegeződnek: $\begin{array}{c}{\displaystyle Z=\sqrt[]{R^2+{\left(\omega L\right)}^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Az áramerősség: $\begin{array}{c}{\displaystyle I_{ki}=\frac{U}{Z}=\frac{U}{\sqrt[]{R^2+{\omega }^2{L}^2}}\mathrm{.}}\end{array}$ A számértéket behelyettesítve $\begin{array}{c}{\displaystyle I=\frac{U}{100\sqrt[]{1+{\pi }^2}}\mathrm{.}}\end{array}$     2. Ha a kapcsolót zárjuk, akkor a párhuzamosan kötött kondenzátoron és induktivitáson valamilyen $U_1$ lesz az eredő feszültség. A kondenzátoron átfolyó áram: $I_C=\frac{U_1}{X_C}=\frac{U_1}{\frac{1}{\omega C}}\mathrm{,}$ a tekercsen pedig: $\begin{array}{c}{\displaystyle I_L=\frac{U_1}{X_L}=\frac{U_1}{\omega L}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a két áram ellenkező fázisban van, ezért az eredő: $\begin{array}{c}{\displaystyle I=I_C-I_L=U_1\left(\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}\right)=\frac{U_1}{Z_1}\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből az eredő ellenállás: $Z_1=\frac{1}{\frac{1}{X_C}-\frac{1}{X_L}}=\frac{\omega L}{{\omega }^{2}LC-1}\mathrm{.}$ Tehát az egész kör ellenállása $Z=\sqrt[]{R^2+{\left(\frac{\omega L}{{\omega }^{2}LC-1}\right)}^2}\mathrm{,}$ az ampermérő által mutatott áram $I_{be}=\frac{U}{\sqrt[]{R^2+{\left(\frac{\omega L}{{\omega }^{2}LC-1}\right)}^2}}\mathrm{.}$ A megadott értékekkel: $I_{be}=\frac{U}{\sqrt[]{{10}^4+{\left(\frac{100\pi }{2-1}\right)}^2}}=\frac{U}{100\sqrt[]{1+{\pi }^2}}\mathrm{.}$ Tehát a kapcsoló ki-bekapcsolása nem változtatja meg az áram erősségét.   3. Bármilyen más frekvenciánál ha azt akarjuk, hogy az áram ne változzon, az kell, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle {\left(\omega L\right)}^2={\left(\frac{\omega L}{{\omega }^{2}LC-1}\right)}^2\mathrm{,}}\end{array}$ vagyis $\pm 1={\omega }^{2}LC-1$ legyen. Fizikailag érdekes esetet a $+$ előjel adja, ebből: $LC=\frac{2}{{\omega }^2}\mathrm{.}$ $L=1\text{H}$ és $1000\text{Hz}$ esetén ez azt jelenti, hogy $C=\frac{2}{{\left(2\pi \cdot {10}^3\right)}^2}\approx 0\mathrm{,}005\mu F$-os kondenzátort kell a körbe iktatni. 4. Ha az $R$ értékét megváltoztatjuk, a jelenség továbbra is lejátszódik, mert az $LC=\frac{2}{{\omega }^2}$ feltétel független $R$-től, legfeljebb $I_{ki}=I_{be}$ értéke más lesz.  Polgár István (Budapest, I. István g., IV. o. t.)