Kezdőlap


Feladat:	484. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Babai László , Kugler S.
Füzet:	1965/április, 187 - 188. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabadesés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/december: 484. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A zsák esési ideje a $h / 2$ úton

\begin{matrix} t_{1} = \sqrt[]{\frac{h}{g}}, h úton t_{2} = \sqrt[]{\frac{2 h}{g}} . \end{matrix}

x

magasságból eső kő esési ideje

\begin{matrix} t_{3} = \sqrt[]{\frac{2 x}{g}}, a kő indítása után t_{4} = \sqrt[]{\frac{2 x - h}{g}} \end{matrix}

idő után éri el a zsákot.
A zsák az utolsó

h / 2

utat

t_{2} - t_{1}

idő alatt teszi meg, a kő ugyanezt az utat

t_{3} - t_{4}

idő alatt. Ennek alapján

t = (t_{2} - t_{1}) - (t_{3} - t_{4}) = t_{2} - t_{1} - t_{3} + t_{4}

, az előbbiek felhasználásával

\begin{matrix} t = \sqrt[]{\frac{2 h}{g}} - \sqrt[]{\frac{h}{g}} - \sqrt[]{\frac{2 x}{g}} + \sqrt[]{\frac{2 x - h}{g}} . \end{matrix}

Algebrai átalakításokkal

\begin{matrix} \sqrt[]{2 x - h} - \sqrt[]{2 x} = \sqrt[]{g} \cdot t + \sqrt[]{h} - \sqrt[]{2 h}, ebből \\ \sqrt[]{2 x - h} = [\sqrt[]{g} \cdot t + \sqrt[]{h} (1 - \sqrt[]{2})] + \sqrt[]{2 x}, \end{matrix}

négyzetre emelve, rendezve, a szögletes zárójelben levő kifejezést

a

-val jelölve,

\begin{matrix} 2 x - h = a^{2} + 2 x + 2 a \sqrt[]{2 x}, amiből \\ - 2 a \sqrt[]{2 x} = a^{2} + h, újabb négyzetre emeléssel \\ 4 a^{2} \cdot 2 x = {(a^{2} + h)}^{2}, \\ x = \frac{{(a^{2} + h)}^{2}}{8 a^{2}} = \frac{{{[\sqrt[]{g} t + \sqrt[]{h} (1 - \sqrt[]{2})]}^{2} + h}^{2}}{8 {[\sqrt[]{g t} + \sqrt[]{h} (1 - \sqrt[]{2})]}^{2}} . \end{matrix}

A kő

t' = t_{4} - t_{1}

idővel a zsák indítása előtt indult:

\begin{matrix} t' = \sqrt[]{\frac{2 x - h}{g}} - \sqrt[]{\frac{h}{g}} . \end{matrix}

Számszerűen

x = 22 m

t' = 0, 413 sec

. A

t

megadásánál figyelembe kell vennünk, hogy

t

feltétlenül kisebb

t_{2} - t_{1}

-nél. hiszen a kő nem lehet előbb lent, mint

h / 2

magasan, még kevésbé lehet egyszerre a két helyen

(h \neq 0)

.

Ezt felírva

\begin{matrix} t < \sqrt[]{\frac{h}{g}} (\sqrt[]{2} - 1) . \end{matrix}

Ez a feltétel egyben azt is kiköti, hogy az

x

-re kapott kifejezés nevezője nem lehet

0

.
Nem pozitív

t

-nek is adhatunk értelmet. Pl.

t = 0

esetben képletünk megadja a nyilvánvaló

x = 4

megoldást.
Negatív

t

esetén azonban ki kell kötnünk, hogy az eredményül kapott

x

nem kisebb

h / 2

-nél, így

t_{3}

minimuma

\sqrt[]{\frac{h}{g}}

t

alsó korlátját ennek alapján kiszámíthatjuk

\begin{matrix} t \geq t_{3} - (t_{2} - t_{1}) \geq \sqrt[]{\frac{h}{g}} - \sqrt[]{\frac{2 h}{g}} + \sqrt[]{\frac{h}{g}} = \sqrt[]{\frac{h}{g}} (2 - \sqrt[]{2}) . \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} t ≧ (- 2 - \sqrt[]{2}) \sqrt[]{\frac{h}{g}} . \end{matrix}

Egyesítve a

2

feltételt

\begin{matrix} (\sqrt[]{2} - 1) \sqrt[]{\frac{h}{g}} > t \geq (- 2 - \sqrt[]{2}) \sqrt[]{\frac{h}{g}} . \end{matrix}

Babai László (Budapest, Fazekas M. gyak. g. I. o. t.)
dolgozata alapján