Kezdőlap


Feladat:	482. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gnädig Péter , Mészáros Ildikó
Füzet:	1965/április, 184 - 186. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Gördülés vízszintes felületen, Merev test mozgásegyenletei, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/november: 482. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Valamennyi egyéb adatot változatlanul tartva a $μ$ csúszó súrlódási együttható értékét igen nagy értékektől $0$ felé haladva változtatjuk. Az $m$ tömeg és a henger középpontja valamilyen $a$ gyorsulással fognak mozogni (1. ábra).

1. ábra

A

pontban a fonálerő

m g - m a

. Ennek az erőnek egyik része,

M a

a henger középpontját gyorsítja. A megadott

P_{1} = m g - m a - M a

erővel egyenlő nagyságú, ellentétes irányú erőket veszünk fel

B

érintkezési pontban. Ha

μ

igen nagy, akkor

P_{s}

csúszó súrlódási erő elég nagy ahhoz, hogy a

P_{2} = m g - m a - M a

erőt kiegyensúlyozza, anélkül, hogy a maximálisan lehetséges

μ M g

súrlódási erőt igénybe vennénk. A megmaradt

P_{1}

erő

r

erőkar esetén

(m g - m a - M a) r

forgatónyomatókkal rendelkezik, és a henger simán gördül

β = a / r

szöggyorsulással. A szöggyorsulás egyenlő a forgatónyomaték és az

I

tehetetlenségi nyomaték hányadosával:

\begin{matrix} \frac{a}{r} = \frac{(m g - m a - M a) r}{I} . \end{matrix}

Innen kiszámíthatjuk a gyorsulást, az eredmény:

\begin{matrix} a = \frac{m}{m + M + I / r^{2}} \cdot g . \end{matrix}

(1)

Csökkentsük a

μ

súrlódási együtthatót. Ha elértük a

μ_{0} M g = m g - m a - M a

egyenlőséget, akkor megkaptuk azt a legkisebb súrlódási együtthatót, amely mellett még lehetséges gördülés. A súrlódási együttható ebben az esetben:

\begin{matrix} μ_{0} = \frac{m g - m a - M a}{M g}, \end{matrix}

illetőleg felhasználva

a

(1) szerinti értékét:

\begin{matrix} μ_{0} = \frac{m}{M} \cdot \frac{I / r^{2}}{m + M + I / r^{2}} . \end{matrix}

(2)

μ

kisebb lesz, mint

μ_{0}

, akkor a teljes

μ M g

súrlódási erő nem elegendő

m g - m a - M a

egyensúlyozására. Fellép a teljes

μ M g

súrlódási erő és

μ M g r

forgatónyomatékkal

β = μ M g r / I

szöggyorsulást okoz. Az ehhez tartozó lineáris gyorsulás:

\begin{matrix} a_{r} = β r = \frac{μ M g r^{2}}{I} . \end{matrix}

(3)

A

pontban működő

m g - m a

fonálerő a hengert gyorsító

M a

erő és a

μ M g

súrlódási erő összegével egyenlő:

\begin{matrix} m g - m a = M a + μ M g . \end{matrix}

Innen a haladó mozgás gyorsulása:

\begin{matrix} a = \frac{m - μ M}{m + M} \cdot g . \end{matrix}

(4)

Amíg

μ > μ_{0}

, addig (1), amikor

μ < μ_{0}

, akkor (4) érvényes.

μ_{0}

-nak (2) alatti értéke mellett (1) és (4) egyformán az (1) szerinti értéket adja. Úgy is mondhatjuk, hogy a kétféle lehetséges mozgási mód közül a nagyobb gyorsulású valósul meg. Számértékeink mellett

I = M r^{2} / 2 = 600 {gcm}^{2}

I / r^{2} = 150 g

μ_{0} = 1 / 11 = 0, 0909

, az (1) szerinti gyorsulás

a = 2 g / 11 = 0, 1818 g = 178 {cm/sec}^{2}

, a (4) szerinti gyorsulás

\begin{matrix} a = \frac{1 - 3 μ}{4} \cdot g . \end{matrix}

2. ábra

A gyorsulás

μ

-től való függését a 2. ábra mutatja. A szaggatott vonal a tengely körüli forgáshoz tartozó lineáris gyorsulást mutatja (3) szerint; a mi esetünkben

a_{r} = 2 μ g

. Látható, hogy

μ = 0

és

μ_{0}

között csúszás is van, viszont

μ_{0}

felett sima a legördülés. A feladatunkban szereplő

μ = 0, 4

μ_{0}

fölé esik,

μ = 0, 05

-nél viszont

a = 17 g / 80 = 208 cm/{sec}^{2}

a_{r} = g / 10 = 98 cm/{sec}^{2}

.
Mészáros Ildikó (Veszprém, Lovassy g. IV. o. t.)

II. megoldás.

m

tömeg

a

gyorsulással süllyedve

t

idő alatt

m g \cdot a t^{2} / 2

munkát végez. Ha

μ

nagy, akkor ebből a munkavégzésből

(m + M) v^{2} / 2

haladási mozgási energia és

ω^{2} I / 2 = {(β t)}^{2} I / 2 = {(a t / r)}^{2} I / 2

forgáshoz tartozó mozgási energia lesz:

\begin{matrix} \frac{m g \cdot {a t}^{2}}{2} = \frac{m + M}{2} \cdot {(a t)}^{2} + \frac{a^{2} t^{2}}{r^{2}} \cdot \frac{I}{2} . \end{matrix}

Tiszta legördülésnél a súrlódás ellen nem végzünk munkát. Ez az egyenlet

a

-ra az (1) eredményt adja. Ha

μ

kicsiny, a munkavégzésből

(m + M) v^{2} / 2

haladási mozgási energia,

ω^{2} I / 2 = {(β t)}^{2} I / 2

forgási mozgási energia és

a t^{2} / 2 - a_{r} t^{2} / 2

úton a maximális

μ M g

súrlódási erő ellen végzett munka tartozik:

\begin{matrix} \frac{m g \cdot a t^{2}}{2} = \frac{m + M}{2} \cdot {(a t)}^{2} + \frac{{(β t)}^{2} I}{2} + μ M g (\frac{a t^{2}}{2} - \frac{a_{r} t^{2}}{2}), \end{matrix}

(3)-at figyelembe véve:

\begin{matrix} \frac{m g \cdot a t^{2}}{2} = \frac{m + M}{2} \cdot {(a t)}^{2} + \frac{μ M g a t^{2}}{2} . \end{matrix}

a

-ra a (4) alatti eredményt adja.
Gnädig Péter (Bp., Táncsics M. g. IV. o. t.)