Kezdőlap


Feladat:	481. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babai László , Vicsek Tamás
Füzet:	1965/április, 183 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Rugalmas energia, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/november: 481. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először számítsuk ki, hogy mennyi energiája van egy összenyomott vagy kihúzott rugónak. A rugóállandó $k = P / y$ , ahol $P$ az $y$ kitéréshez tartozó rugóerő.

Egyik végén rögzített rugó másik végére erősítsünk egy

m

tömegű testet. Ezt a testet mozdítsuk el

x

távolságra, majd hagyjuk magára. Ekkor a test harmonikus rezgőmozgást fog végezni, melynek körfrekvenciája

ω = \sqrt[]{k / m}

. A rezgés amplitúdója

x

. Az

x

kitéréshez tartozó rugóenergia éppen egyenlő lesz a nulla kitéréshez tartozó mozgási energiával:

\begin{matrix} E (x) = \frac{1}{2} m \cdot v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m {(x ω)}^{2} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^{2} . \end{matrix}

A test ráesik a tányérra, a rugó összenyomódik, majd visszadobja a testet az eredeti magasságba, ugyanis a rugó nem tárolhat energiát (nincs tömege) és az energia megmarad. Ez a folyamat ismétlődik periodikusan tovább.
A tömeg helyzeti energiáját

h = 50 cm

-rel a mérlegtányér nyugalmi helyzete felett vegyük nullának. Ha a rugó maximális rövidülése

x

, a test energiája az eredeti helyzet alatt

x + h

mélységben csak helyzeti energia. A rugónak ekkor

\frac{1}{2} k \cdot x^{2}

energiája van, ahol

k = 160 pond/cm

. A két energia összege nulla (ennyi volt kezdetben a rendszer összes energiája):

\begin{matrix} - m \cdot g \cdot (h + x) + \frac{1}{2} k x^{2} = 0, \end{matrix}

ahol

m = 500 g

. A másodfokú egyenlet pozitív gyöke

x \approx 21, 1 cm

, vagyis a rugó maximálisan ennyivel nyomódik össze.

Megjegyzések. 1. A mozgás egy periódusa a következő részekből áll: a test eléri a mérleg tányérját (1), a mérleggel együtt mozog az alsó holtpontig (2), a mérleggel együtt mozog felfelé (3) és végül visszajut a kiindulási helyzetébe (4). Kiszámíthatjuk a periódus idejét:

T = t_{1} + t_{2} + t_{3} + t_{4} = 2 (t_{1} + t_{3})

‐ a szimmetria okok miatt. Nyilván

t_{1} = \sqrt[]{\frac{2 h}{g}} \approx 0, 319 sec .

Amíg a tányér és a tömeg együtt mozog, a tömeg harmonikus rezgőmozgást végez, melynek körfrekvenciája

ω = \sqrt[]{k / m}

. A rezgés középpontja ott van, ahol a rugóerő éppen

m \cdot g

. A rugó rövidülése ekkor

z = m g / k \approx 3, 1 cm

. A rezgés amplitúdója

x - z

, vagyis a pillanatnyi kitérés

(x - z) \cdot cos ω t

. Ha az időmérést az alsó holtponton indítjuk,

t_{3}

idő múlva a kitérés éppen ‐

z

lesz:

- z = (x - z) \cdot cos ω t_{2}

. Innen

ω \cdot t_{2} \approx 100^{\circ}

vagyis

t_{3} \approx 0, 098 sec

.
A periódus ideje tehát:

T = 2 (t_{1} + t_{3}) \approx 0, 835 sec

. Ebből a rugó is mozgott

2 t_{3} \approx 0, 175 sec

-ig. A mozgás frekvenciája pedig

f = 1 / T \approx 1, 2 Hz

Babai László (Budapest, Fazekas Mihály gyak. g. I. o. t.)

2. Egy súlytalan rugó addig mozog, amíg hossza nem éri el a nyugalmi hosszt, vagy ameddig külső test hat rá. A feladatban így nincs szükség peckekre.
Vicsek Tamás (Budapest, Radnóti M. g. III. o. t.)