Kezdőlap


Feladat:	480. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bor Pál , Komondi P. , Nagy Attila , Szenthe P. , Téchy Zsolt , Tüttő I.
Füzet:	1965/április, 181 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyűjtőlencse, Optikai leképezés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/november: 480. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat első kérdésénél induljunk ki abból, hogy a $t_{0}$ távolságban levő tárgy képe $k_{0}$ -ban van, azután a tárgy $v$ sebességgel távolodik (1. ábra). Ez azt jelenti, hogy a $t$ tárgytávolsági $τ$ idő ilyen függvénye: $t = t_{0} + v τ$ .

1. ábra

A lencse ismert leképezési törvényéből következik, hogy a képtávolság:

\begin{matrix} k = \frac{t f}{t - f} . \end{matrix}

(

f

a lencse gyújtótávolsága.) Ide behelyettesítjük az időtől függő tárgytávolságot:

\begin{matrix} k = f \cdot \frac{t_{0} + v τ}{t_{0} + v τ - f} . \end{matrix}

A 2. ábra feltünteti a függvény menetét, a távolságokat

f

gyújtótávolság arányában mérve. A negatív ordináta irányában szaggatott vonal mutatja a tárgytávolság függését. A képtávolság időtől való függését hiperbola ív tünteti fel, amelyről látható, hogy változása mindig lassúbb.

2. ábra

3. ábra

A feladat második kérdését a fényképészek mint mélységi élességet ismerik (3. ábra). Ha

t_{1}

távolságban van egy tárgy, akkor éles képe

k_{1}

távolságban keletkezik, ugyanakkor azonban

t_{2}

távolságban levő tárgy képe az előbbi

k_{1}

távolságban nem lehet éles, mert az éles kép

k_{2}

-ben keletkezne. Ilyenkor bizonyos mértékig meg kell alkudnunk a lehetőségekkel. Az életlenség mértékét az adja meg, hogy a pont helyett keletkező kör

d

átmérője mekkora. Ha a lencse átmérője

D

, és a

t_{1}

távolságban levő tárgy képe

k_{1}

távolságban keletkezik, de a filmet

k

távolságra helyezzük, akkor érvényes ez az arányosság:

\begin{matrix} \frac{d}{D} = \frac{k_{1} - k}{k_{1}} . \end{matrix}

Ugyanígy, ha a

t_{2}

távolságban levő tárgy képe

k_{2}

-ben keletkezik, és

k

távolságban van a film, akkor

\begin{matrix} \frac{d}{D} = \frac{k - k_{2}}{k_{2}} . \end{matrix}

Ha mind

t_{1}

-ről, mind

t_{2}

-ről tűrhető élességű képet akarunk kapni, akkor legcélszerűbb a filmet olyan

k

távolságra tennünk, hogy a

d

körök átmérője egyenlő legyen:

\begin{matrix} \frac{k_{1} - k}{k_{1}} = \frac{k - k_{2}}{k_{2}} . \end{matrix}

Ennek megoldása:

\begin{matrix} \frac{2}{k} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}, illetve k = \frac{2 k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}} . \end{matrix}

Matematikai fogalmat használva a filmet a két élesre állítási távolság harmonikus középértékére kell állítanunk. (Harmonikus középérték például a homorú gömbtükör rádiusza a tárgytávolság és képtávolság között.) Most csak azt kell megvizsgálnunk, hogy ezen

k

-hoz mekkora tárgytávolság tartozik. A leképezési törvény szerint:

\begin{matrix} \frac{1}{t} = \frac{1}{f} - \frac{1}{k} . \end{matrix}

Felhasználva

k

-ra kapott előbbi eredményünket:

\begin{matrix} \frac{1}{t} = \frac{1}{f} - \frac{1}{2} (\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}) . \end{matrix}

Most vegyük figyelembe, hogy

t_{1}

k_{1}

, valamint

t_{2}

k_{2}

a leképezés kapcsolatában állnak:

\begin{matrix} \frac{1}{f} = \frac{1}{t_{1}} + \frac{1}{k_{1}} és \frac{1}{f} = \frac{1}{t_{2}} + \frac{1}{k_{2}} . \end{matrix}

Ezeket

1 / f

helyébe téve:

\begin{matrix} \frac{1}{t} = \frac{1}{2} (\frac{1}{t_{1}} + \frac{1}{k_{1}}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{t_{2}} + \frac{1}{k_{2}}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}) . \\ \frac{2}{t} = \frac{1}{t_{1}} + \frac{1}{t_{2}}, vagy t = \frac{2 t_{1} t_{2}}{t_{1} + t_{2}} . \end{matrix}

Tehát az általunk keresett beállítás: a két tárgytávolság harmonikus középértékére, mint tárgytávolságra kell élesre állítani, ami közismerten kisebb, mint a számtani középérték (ezt a feladat így fejezi ki: ,,pontosan a két tárgy közé'').
Néhány, fényképészeket érdeklő példa: ha a két tárgy távolsága

2 f

és

6 f

, akkor

3 f

távolságra kell élesre állítanunk, a kép

2 f

és

1, 2 f

között,

1, 5 f

távolságban keletkezik. Ha

t

távolságot és a végtelent egyszerre akarjuk a leginkább elviselhető életlenséggel leképezni, akkor az élesre állítás síkja

t

és a végtelen harmonikus középértéke:

2 t

, a filmet pedig

2 t f / (2 t - f)

távolságban kell elhelyezni.
Bor Pál (Szeged, Ságvári E. g. IV. o. t.) és
Téchy Zsolt (Bp., Kandó K. technikum IV. o. t.)
dolgozata alapján