Kezdőlap


Feladat:	478. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Babai László , Darvas Gy. , Herényi István , Szász A.
Füzet:	1965/április, 179 - 180. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Harmonikus rezgőmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/november: 478. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a rugó direkciós ereje $k$ , a koordinátarendszer origója pedig a terheletlen rugó végpontja. Tegyük föl először, hogy az $A$ és $B$ tömegek egymáshoz és a rugóhoz vannak erősítve.

A rendszer nyugalmi helyzete:

x = - \frac{(m_{A} + m_{B}) g}{k}

lesz (ahol a rugó éppen kiegyenlíti a nehézségi erőt): Meglökve a tömegek ezen

x_{0}

pont körül fognak rezgőmozgást végezni

ω = \sqrt[]{\frac{k}{m_{A} + m_{B}}}

körfrekvenciával. Vagyis:

\begin{matrix} x = A^{*} cos ω t - \frac{m_{A} + m_{B}}{k} g, \\ a sebbeség : v = - A^{*} ω sin ω t, \\ a gyorsulás : a = - A^{*} ω^{2} cos ω t . \end{matrix}

Most vegyük figyelembe, hogy a

B

test nincs

A

-hoz rögzítve, vagyis a minimális gyorsulása (a gyorsulást előjelesen vesszük!)

- g

. Mivel a gyorsulás pozitív irányban akármekkora lehet, azért a testek elválása csak a pálya

x_{0}

feletti szakaszán lehetséges, ahol a gyorsulás negatív, mégpedig pontosan ott, ahol

- g = a = - A^{*} ω^{2} cos ω t

. Ebből

\begin{matrix} cos ω t = \frac{g}{A^{*} ω^{2}}, ekkor x = \frac{g}{ω^{2}} - \frac{(m_{A} + m_{B}) g}{k} = 0. \end{matrix}

Az elválás akkor még nem következik be, amikor a gyorsulások fenti egyenlősége éppen a pálya csúcsán teljesül, (ott

cos ω t = 1

) vagyis ha

\frac{g}{A^{*} ω^{2}} = 1

, azaz

A^{*} = \frac{g}{ω^{2}}

.
Tehát a szétválás feltétele, hogy

A^{*} ≧ | x_{01} |

legyen, de érdekes, hogy bármekkora amplitúdónak megfelelő kezdeti lökést adunk, a testek elválása mindig az

x = 0

pontban következik be. Mivel ennél kisebb amplitúdónál szétválásról szó sem lehet, ezért a két test nyilván együtt tér vissza a kiindulási helyzetbe, vagyis ilyenkor a két feltétel egyszerre való teljesülése triviális.
De a nyugalmi helyzeten való együttes áthaladás más esetekben is elképzelhető. Például ha a kilőtt

B

test azelőtt tér vissza, mielőtt az

A

test elérné

x_{01}

-t. Érdekes speciális eset, ha a magára hagyott

A

rezgése olyan, hogy nem éri el soha az eredeti nyugalmi helyzetet, így az

x_{01}

-be való visszatérés csak együttesen lehetséges.
Herényi István (Budapest, I. István g. III. o. t.)
dolgozata alapján