Feladat:	470. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bodonhelyi Márta ,  Gnädig Péter
Füzet:	1965/március, 138 - 139. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Merev test egyensúlya, Erők forgatónyomatéka, Összetartó erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/október: 470. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. megoldás. Az 1. golyó $P_1$ merőleges nyomóerőt gyakorol a pohár falára, $N$ erővel pedig a 2. golyóra hat (1. ábra). A 2. golyóra ható $N$ erőt felbontjuk $P_2$ vízszintes és egy függőleges összetevőre. A függőleges összetevőt a talaj ellenereje kiegyensúlyozza, $P_2$ pedig a pohár falára hat. Mivel $O_{1}AB▵\simeq C{O}_{2}D▵$, ezért $P_1=P_2$. $P_1$ és $P_2$ erőpárt alkotnak, amelynek erőkarja $2r\text{cos}\alpha$, forgatónyomatéka: $\begin{array}{c}{\displaystyle P_1\cdot 2r\text{cos}\alpha \mathrm{.}}\end{array}$     1. ábra   A pohár $Q$ súlya a pohár jobb oldali alsó széle mint tengely körül $QR$ forgatónyomatékkal forgatja vissza a poharat. Az egyensúly feltétele, hogy a két forgatónyomaték egyenlő legyen: $\begin{array}{c}{\displaystyle }\end{array}$ P1⋅2rcosα=QR. $P_1$ erőt kifejezzük a $q$ golyósúllyal: $P_1=q\text{tg}\alpha$; ezzel $\begin{array}{c}{\displaystyle q\text{tg}\alpha \cdot 2r\text{cos}\alpha =2rq\text{sin}\alpha =QR\mathrm{.}}\end{array}$ Másrészt $\text{sin}\alpha =\frac{2R-2r}{2r}=\frac{R-r}{r}$, ezért az egyensúly feltétele: $\begin{array}{c}{\displaystyle Q=2q\cdot \frac{R-r}{R}\mathrm{.}}\end{array}$ A pohárnak legalább ekkora súlyúnak kell lennie.   Bodonhelyi Márta (Bp., Móra Ferenc g. IV. o. t.)   II. megoldás. Legyen a pohár súlypontjának távolsága a forgástengelytől $L$, és kezdetben a pohár súlypontjának a magassága $L\text{sin}\gamma$ (2. ábra). Ha a pohár $\phi$ szöggel elfordul, akkor súlypontja emelkedik és súlypontjának magasságemelkedése $L\text{sin}\left(\gamma +\phi \right)-L\text{sin}\gamma =R\text{sin}\phi$, mert $L\text{cos}\gamma =R$ és kis szögnél a $\text{cos}$ értéke közelítőleg $1$. Az alsó golyó súlypontja ugyanabban a magasságban marad, de a felső golyóé süllyed. A pohár $\phi$ szöggel történő elfordulásakor a felső golyó súlypontjának süllyedése: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2r\text{cos}\alpha -2r\text{cos}\left(\alpha +\phi \right)=2\left(R-r\right)\text{sin}\phi \mathrm{,}\text{mert}\text{sin}\alpha =\frac{2R-2r}{2r}\mathrm{.}}\end{array}$     2. ábra   A pohár helyzeti energiájának növekedése $QR\text{sin}\phi$, a felső golyó helyzeti energiájának csökkenése $2q\cdot \left(R-r\right)\text{sin}\phi$. Az egyensúlyra jellemző, hogy kis $\phi$ szög esetében az összes energia változatlan marad: $QR\text{sin}\phi =2q\left(R-r\right)\text{sin}\phi$, és innen a pohár súlyára adódó feltétel: $\begin{array}{c}{\displaystyle Q=2q\cdot \frac{R-r}{R}\mathrm{.}}\end{array}$   Gnädig Péter (Bp., Táncsics M. g. IV. o. t.)