Kezdőlap


Feladat:	459. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1965/május, 231 - 232. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/szeptember: 459. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. $t$ idő elteltével a két autó $r_{1} - v_{1} t$ , illetve $r_{2} - v_{2} t$ távolságra van a kereszteződési ponttól. Az $A B O$ háromszögre felírjuk a koszinusz tételt:

\begin{matrix} d^{2} = {(r_{1} - v_{1} t)}^{2} + {(r_{2} - v_{2} t)}^{2} - 2 (r_{1} - v_{1} t) (r_{2} - v_{2} t) cos φ . \end{matrix}

Rendezve

\begin{matrix} d^{2} = (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2 v_{1} v_{2} cos φ) t^{2} - 2 [v_{1} r_{1} + v_{2} r_{2} - (v_{1} r_{2} + v_{2} r_{1}) cos φ] t + \\ + r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} cos φ, \end{matrix}

majd teljes négyzetté alakítva

\begin{matrix} d^{2} = (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2 v_{1} v_{2} cos φ) {(t - \frac{v_{1} r_{1} + v_{2} r_{2} - (v_{1} r_{2} + v_{2} r_{1}) cos φ}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2 v_{1} v_{2} cos φ})}^{2} + \\ + r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} cos φ - \frac{{[v_{1} r_{1} + v_{2} r_{2} - (v_{1} r_{2} + v_{2} r_{1}) cos φ]}^{2}}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2 v_{1} v_{2} cos φ} . \end{matrix}

A távolság akkor a legkisebb, ha a távolság négyzete minimális. A jobboldalnak akkor van minimuma, ha

\begin{matrix} t - \frac{v_{1} r_{1} + v_{2} r_{2} - (v_{1} r_{2} + v_{2} r_{1}) cos φ}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2 v_{1} v_{2} cos φ} = 0, vagyis \\ t = \frac{v_{1} r_{1} + v_{2} r_{2} - (v_{1} r_{2} + v_{2} r_{1}) cos φ}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2 v_{1} v_{2} cos φ} . \end{matrix}

Ekkor a távolság négyzete

\begin{matrix} d^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} cos φ - \\ - \frac{{[v_{1} r_{1} + v_{2} r_{2} - (v_{1} r_{2} + v_{2} r_{1}) cos φ]}^{2}}{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} - 2 v_{1} v_{2} cos φ} . \end{matrix}

v_{2} = 2 v_{1}

és

r_{2} = 3 r_{1}

\begin{matrix} t = \frac{7 - 5 cos φ}{5 - 4 cos φ} \cdot \frac{r_{1}}{v_{1}}, d^{2} = [10 - 6 cos φ - \frac{{(7 - 5 cos φ)}^{2}}{5 - 4 cos φ}] r_{1}^{2} . \end{matrix}

Numerikus adatokat behelyettesítve:

t = 3

óra,

d = 50

km.

Dékány István (Bp., Fazekas M. Gyak. gimn. II. o. t.)

II. megoldás. A numerikus adatokból látszik, hogy a második autó sebességének az első autó útjára eső vetülete megegyezik az első autó sebességével, mivel

\begin{matrix} 2 v_{1} cos 60^{\circ} = v_{1} . \end{matrix}

Így, ha a második autó a kereszteződési pontban van, akkor a távolságnak biztosan minimuma van, mert az első autó sebességének irányába eső távolság marad meg. Ebben az esetben:

\begin{matrix} r_{2} = v_{2} t, t = \frac{r_{2}}{v_{2}}, amiből t = \frac{3 r_{1}}{2 v_{2}} . \end{matrix}

Numerikus adatokkal

\begin{matrix} t = \frac{300 km}{100 km/ó} = 3 óra, \end{matrix}

ekkor a távolság, mivel a második autó a találkozási pontban van:

\begin{matrix} | r_{1} - v_{1} t | = 50 km. \end{matrix}

Bor Zsolt (Szeged, Ságvári E. gimn. II. o. t.)