Feladat: 457. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Gnädig Péter ,  Patkós András 
Füzet: 1965/január, 46. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Coulomb-törvény, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1964/május: 457. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Triviális megoldás a négyzet valamelyik szabad csúcsa. Azonban érdekes körülmény, hogy bizonyos esetekben még két egyensúlyi helyzet található. A négyzet OQ2 oldalán levő P pont helyzetét meghatározza az α szög (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

A távolságok: OP=atgα,
PQ2=a(1-tgα),Q1P=acosα.

A Q1 töltés által a P-ben levő pozitív töltésre kifejtett erő k10Q2a2/cos2α, és ennek az OQ2 egyenesbe eső vetülete:
P1=k10Q2a2cos2αsinα==K10cos2αsinα.



A Q2 töltés által a P-ben levő pozitív töltésre kifejtett erő:
P2=-kQ2a2(1-tgα)2==-K/(1-tgα)2.



 
 
2. ábra
 

Ez az erő az OQ2 egyenesbe esik. Az egyensúly feltétele: P1=P2, azaz
10cos2αsinα=1(1-tgα)2.
Ezt a trigonometrikus egyenletet grafikus úton tudjuk megoldani.
Ábrázoljuk (2. ábra) a P2=1(1-tgα)2 és a P1=10cos2αsinα erőket mint α függvényét (K=1). A metszéspontok egyensúlyt jelentenek. Két egyensúlyi helyzetet találunk:
N metszéspont α=2445'-nél (P1=P2=3,45); ez az egyensúly stabilis, mert +Δα elmozdulásnál az erők a pozitív töltést visszaviszik P-be;
M metszéspont α=8-nál, (P1=P2+1,35); ez az egyensúly labilis, mert +Δα elmozdulásnál az erők a pozitív töltést vagy O-ba, vagy az α=2445'-hez tartozó stabilis egyensúlyi helyzetbe viszik.
Ha a Q1/Q2 bizonyos számnál kisebb, akkor az OQ2 oldal mentén nincs egyensúlyi helyzet. A lehetséges legkisebb Q1/Q2 érték közelítőleg 7,72. Ekkor a P1 görbéje a szaggatott vonal (2. ábra), amely L-ben érinti P2 változatlan görbéjét α=1445'-nél, amikor P1=P2=1,86. Ez is labilis egyensúlyi helyzet. A kis pozitív töltést Q2-ből O felé vive eleinte P2>P1, tehát a töltés balra tolódik. P2 és P1 különbsége egyre kisebb lesz, ha a töltést balra visszük, és az α=1445'-hez tartozó szögnél P1=P2. Ha a kis töltést tovább visszük balra, P2 ismét nagyobb lesz, mint P1, és a töltést beviszi O-ba.
Q1O mentén nincs egyensúlyi helyzet A négyzet másik két oldalára ugyanez érvényes.
 

 Gnädig Péter (Budapest, Táncsics M. Gimn., III. o. t.)