Kezdőlap


Feladat:	451. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Belső László , Doskar Balázs , Gnädig Péter , Hegedűs Csaba , Juvancz Gábor , Magyar Gábor , Szabó Péter Pál , Veres Ferenc
Füzet:	1964/december, 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb ellenállás-kapcsolások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1964/április: 451. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatot általános esetben oldjuk meg. Készítsünk egy olyan ,,téglalap'' ellenállás-mátrixot, amelynél az alsó drótok száma $n$ , a felsőké $m$ , és az ellenállások nagysága $r$ . Az ellenállás nem függ a bemenő és a kimenő drót megválasztásától, mivel a bemenő drótot a szélére áthelyezve, az így átvitt $m$ db ellenállás ugyanazokra a (felső) drótokra fog csatlakozni, mint azelőtt. Ezután a kimenő drótot is a szélére helyezhetjük át. Így tetszőleges be- és kimenő drót esetében az ellenállás egyenlő a szélső drótokon mérhető ellenállással.

Számítsuk ki a szélső drótokon mérhető ellenállást! A be- és kimenő drótok találkozásánál levő ellenállást (

r_{1}

) a végén vesszük figyelembe. A bemenet (

m - 1

) db ellenállásra ágazik el, és mindegyik ág tovább oszlik (

n - 1

) felé. Az így kapott

(m - 1) \cdot (n - 1)

ág az

r'_{2}, r'_{3}, ..., r'_{n}

, ellenállásokon át a kimenetre csatlakozik. Az így kapott síkbeli ábra:

Mivel az

r_{2}, r_{3}, r_{4}, ..., r_{m}

, illetve az

r'_{2}, r'_{3}, r'_{4}, ..., r'_{n}

ellenállások teljesen egyenértékűek (egymással felcserélhetők), a rajtuk folyó áramok megegyeznek, az

A_{2}, A_{3}, ..., A_{m},

illetve a

B_{2}, B_{3}, ..., B_{n}

pontok egyenlő potenciálokon vannak, így összeköthetők. Az eredő ellenállás tehát:

\begin{matrix} R' = \frac{r}{n - 1} + \frac{r}{(n - 1) \cdot (m - 1)} + \frac{r}{m - 1} = \frac{m + n - 1}{(n - 1) \cdot (m - 1)} \cdot r . \end{matrix}

Ezzel párhuzamosan van kapcsolva az

r_{1}

ellenállás, ezért az ellenállás-mátrix ellenállása:

\begin{matrix} R = {[\frac{1}{R'} + \frac{1}{r}]}^{- 1} = \frac{m + n - 1}{m \cdot n} \cdot r . \end{matrix}

A négyzetes ellenállás-mátrix ellenállása

(m = n) : R = \frac{2 n - 1}{n^{2}} \cdot r .

Esetünkben

(n = m = 3, r = 1 ohm) R = 5 / 9 ohm

Veres Ferenc (Miskolc, Kilián Gy. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján